Znaleźć równanie płaszczyzny pi zawierającej prostą

Kuba_P · Post autor: **Kuba_P** » 11 lut 2010, o 15:14

Bardzo proszę o wskazówki dotyczące rozwiązania:
Znaleźć równanie płaszczyzny pi zawierającej prostą
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y+1=0\\x-z-1=0\end{cases}}\)
i której odległość od początku układu współrzędnych jest równa 1
Z góry dziękuję za pomoc!

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 11 lut 2010, o 20:55

Wskazówka - podana płaszczyzna należy do pęku płaszczyzn określonego przez te dwie płaszczyzny.

Pozdrawiam.

Kuba_P · Post autor: **Kuba_P** » 11 lut 2010, o 21:20

Dzięki za wskazówkę, ale to nic mi nie mówi :/ Chciałbym wiedzieć jak zacząć rozwiązywać to zadanie. Na studiach nie wytłumaczono nam nic z tego działu, a i w książkach też mało co piszą. Z tego rozumię, że te proste to już są płaszczyzny?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 11 lut 2010, o 22:31

Przynajmniej nie pisz takich herezji, że prosta to płaszczyzna, bo normalnie boję się już cokolwiek Ci odpisać

Twoja prosta jest zadana w postaci krawędziowej - czyli jako część wspólna dwóch płaszczyzn. Na początek sprawdź, czy któraś z podanych płaszczyzn spełnia warunki zadania - wzór na odległość punktu od płaszczyzny chyba znasz?

Jak już sprawdzisz, to wyjdzie, że żadna z tych płaszczyzn nie jest tą, której szukasz. Wobec tego szukana płaszczyzna - jako należąca do pęku płaszczyzn - ma równanie postaci

\(\displaystyle{ x-y+a(x-z-1)=0}\)

Parametr \(\displaystyle{ a}\) wyznaczysz z warunku na odległość tej płaszczyzny od początku układu.

Pozdrawiam.

Kuba_P · Post autor: **Kuba_P** » 12 lut 2010, o 17:14

Zatem równanie płaszczyzny pi to:
-y+z+1=0
Czy nie tak?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 12 lut 2010, o 17:39

Nie tak - skąd to wziąłeś?

Pozdrawiam.

Kuba_P · Post autor: **Kuba_P** » 12 lut 2010, o 17:56

Z tego wzoru co podałaś... :/ Więc jak to trzeba rozwiązać po kolei, bo już się pogubiłem.
Bardzo proszę Cię o rozwiązanie.
Pozdrawiam

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 12 lut 2010, o 22:12

Ale ja nie podałam przecież wzoru na odległość Równanie płaszczyzny po uporządkowaniu ma postać

\(\displaystyle{ (1+a)x-y-az+1-a=0}\)

Warunek: odległość od początku układu jest równa 1, czyli mamy:

\(\displaystyle{ 1=\frac{|1-a|}{\sqrt{(1+a)^2+1^2+a^2}}\ \Leftrightarrow \ \sqrt{2a^2+2a+2}=|1-a|\ \Leftrightarrow \\ 2a^2+2a+2=1-2a+a^2\ \Leftrightarrow \ a^2+4a+1=0}\)

Otrzymujesz stąd dwie możliwe wartości \(\displaystyle{ a=-2\pm\sqrt{3}}\) i dwa możliwe równania płaszczyzn spełniających warunki zadania.

Pozdrawiam.

Kuba_P · Post autor: **Kuba_P** » 13 lut 2010, o 16:49

Bardzo Ci dziękuję BettyBoo za pomoc. Teraz zrozumiałem o co w tym chodzi ;D
Pozdrawiam.