wyznacz pole i wierchołek trójkąta

tomi140 · Post autor: **tomi140** » 11 lut 2010, o 11:10

Odcinek AB o końcach \(\displaystyle{ A=(-2,-1) B=(2,3)}\) jest podstawą trójkąta ABC. Wierzchołek C należy do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)= x^{2}+6x+10}\). Wyznacz współrzędne pkt C, tak aby pole trójkąta ABC było najmniejsze. Ile wynosi to pole?

Moje obliczenia równanie prostej AB 0=x-y+1

\(\displaystyle{ d= \frac{ \left|1*x+(-1)(x ^{2}+6x+10)+1 \right| }{ \sqrt{(1) ^{2}+(-1) ^{2} } }}\)
\(\displaystyle{ d= \frac{ \left|-x ^{2}-5x-9 \right| }{ \sqrt{2} }}\)
\(\displaystyle{ p=-2,5}\)
\(\displaystyle{ q=- \frac{11}{4}}\)

W odpowiedziach p jest -2,5 ale \(\displaystyle{ q= \frac{5}{4}}\)

gdzie robie błąd?

JankoS · Post autor: **JankoS** » 12 lut 2010, o 15:04

Mamy wyznaczyć wartość funkcji dla \(\displaystyle{ x_w=- \frac{5}{2}}\), więc trzeba wyznaczyć f(p), a nie podstawiać do wzoru na d.

Sarrus · Post autor: **Sarrus** » 14 lut 2010, o 02:13

tomi140 pisze:Odcinek AB o końcach \(\displaystyle{ A=(-2,-1) B=(2,3)}\) jest podstawą trójkąta ABC. Wierzchołek C należy do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)= x^{2}+6x+10}\). Wyznacz współrzędne pkt C, tak aby pole trójkąta ABC było najmniejsze. Ile wynosi to pole?

Moje obliczenia równanie prostej AB 0=x-y+1

\(\displaystyle{ d= \frac{ \left|1*x+(-1)(x ^{2}+6x+10)+1 \right| }{ \sqrt{(1) ^{2}+(-1) ^{2} } }}\)
\(\displaystyle{ d= \frac{ \left|-x ^{2}-5x-9 \right| }{ \sqrt{2} }}\)
\(\displaystyle{ p=-2,5}\)
\(\displaystyle{ q=- \frac{11}{4}}\)

W odpowiedziach p jest -2,5 ale \(\displaystyle{ q= \frac{5}{4}}\)

gdzie robie błąd?

%

\(\displaystyle{ Wiemy \ ze \ \triangle_{ABC} \ : \ A \ ( \ -2 \ ; \ -1 \ ) \ , \ B \ ( \ 2 \ ; \ 3 \ ) \ , \ \left \begin{cases} C \ ( \ x_{1} \ ; \ y_{1} \ ) \\ gdzie \ : \\ x_{1} \ \in D_{f(X)} \ : \ \{ \ x \in \ \Re \ : \ x \in \ \ ( -\infty \ ; \ +\infty \right \ ) \ \} \\ y_{1} \ = \ f(x_{1}) \ \right \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ Ustalam \ wzor \ na \ powirzchnie \ trojkata \ : \ ABC \ ; \ :}\)

\(\displaystyle{ S_{\triangle_{ABC}}^{} \ = \ \frac{podstawa \cdot wysokosc}{2}}\)

\(\displaystyle{ Wyznaczamy \ podstawe \ trojkata \ : \ ABC \ ; \ :}\)

\(\displaystyle{ \to \ podstawa \ to \ bok \ : \ AB \ ; \ \triangle_{ABC} \ ,}\)

\(\displaystyle{ \to_{\to} \ poniewaz \ dlugosc \ boku \ AB \ to \ dlugosc \ odcinka \ AB \ to \ dlugosc \ wektora \ AB \ to \ :}\)

\(\displaystyle{ |\vec{AB}| \ = \ \sqrt{ \left( x_{B} \ - \ x_{A} \right)^{2} \ + \ \left( y_{B} \ - \ y_{A} \right)^{2} } \ = \ \sqrt{ \left( 2 \ + \ 2 \right)^{2} \ + \ \left( 3 \ + \ 1 \right)^{2} } \ = \ \sqrt{16 \ + \ 16 } \ = \ \sqrt{32} \ = \ 4\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ Po \ " \ podstawieniu" \ do \ wzoru \ otrzymuje \ :}\)

\(\displaystyle{ S_{\triangle_{ABC}} \ = \ \frac {4\sqrt{2} \cdot wysokosc}{2} \ = \ 2\sqrt{2} \cdot wysokosc}\)

\(\displaystyle{ Poniewaz \ wiemy \ ze \ wysokosc \ jest \ to \ odcinek \ " \ spuszczony" \ z \ wiekrzcholka}\)

\(\displaystyle{ na \ przeciwlegly \ bok \ pod \ katem \ 90^{o} \ to \ :}\)

\(\displaystyle{ h \ = \ \frac { \left| Ax \ + \ By \ + \ C \right| }{\sqrt{A^{2} \ + \ B^{2}}}}\)

\(\displaystyle{ gdzie \ wspolczynniki : A,B,C \ ; \ sa \ wspolczynnikami \ prostej}\)

\(\displaystyle{ l \ : \ \begin{vmatrix} x&y&1\\-2&-1&1\\2&3&1\end{vmatrix} \ \ = \ 0}\)

\(\displaystyle{ l \ : \ -x \ + \ y \ - \ 1 \ = \ 0}\)

\(\displaystyle{ czyli \ :}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} h \ = \ \frac {\ \left| Ax \ + \ By \ + \ C \right| }{\sqrt{A^{2} \ + \ B^{2}}} \\ A \ = \ -1 \\ B \ = \ +1 \\ C \ = \ -1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ h \ = \ \frac { \left| x_{1}^{2} \ + \ 5x_{1} \ + \ 9 \right| }{\sqrt{2}}}\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ Po \ podstawieniu \ do \ wzoru \ otrzymuje \ :}\)

\(\displaystyle{ S_{\triangle_{ABC}} \ = \ 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left| x_{1}^{2} \ + \ 5x_{1} \ + \ 10 \right|} \ = \ 2\left| x_{1}^{2} \ + \ 5x_{1} \ + \ 9 \right|}\)

\(\displaystyle{ Poniewaz \ nalozenie \ pierwiaska \ , \ warosci \ bezwzglednej \ , \ ect \ nie}\)

\(\displaystyle{ wplywa \ na \ odcieta \ ekstremum \ tylko \ na \ jego \ rzedna}\)

\(\displaystyle{ zbadam \ funkcje \ robocza \ :}\)

\(\displaystyle{ B \ = \ 2\left( x_{1}^{2} \ + \ 5x_{1} \ + \ 9 \right)}\)

\(\displaystyle{ Uzalezniamy \ powierzchnie \ \triangle_{ACB} \ od \ zmiennej \ x_{1}}\)

\(\displaystyle{ B(x_{1}) \ = \ \begin{cases} 2 \left(x_{1}^{2} \ + \ 5x_{1} \ + \ 9 \right) \\ \bigwedge\limits_{x_{1} \in \Re} x_{1} \in \left[ D_{B(x{1})}\ = \ \{ \ x_{1} \in \Re \ : \ x_{1} \in \left( -\infty \ ; \ + \infty \right) \ } \right] { \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ Poniewaz \ interesuje \ nas \ najmniejsza \ mozliwa \ powierzchnia \ \triangle_{ABC}}\)

\(\displaystyle{ zgodna \ z \ warunkami \ brzegowymi \ istnienia \ badanego \ problemu}\)

\(\displaystyle{ wiec \ badam \ ekstrema \ lokalne \ funkcji \ B(x_{1}) \ w \ celu \ ustalenia \ jej}\)

\(\displaystyle{ wartosci \ minimalnej \ :}\)

\(\displaystyle{ \left[B(x_{1})\right]' \ = \ \left[2 \left(x_{1}^{2} \ + \ 5x_{1} \ + \ 9 \right) \right]' \ = \ 2 \left( 2x_{1} \ + \ 5 \right) \ = \ 4 \left( x_{1} \ + \ \frac{5}{2} \right)}\)

\(\displaystyle{ \left[ B(x_{1}) \right]' \ = \ 0}\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ 4 \left( x_{1} \ + \ \frac{5}{2} \right) \ = \ 0}\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ x_{1} \ + \ \frac{5}{2} \ = \ 0}\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ x_{1} \ = \ -\frac{5}{2} \ \in D_B(x_{1})}\)

\(\displaystyle{ W \ celu \ ustalenia \ czy \ jest \ to \ ekstremum \ minimalne \ czy \ maksymalne}\)

\(\displaystyle{ wyznaczam \ \left[ B(x_{1}) \right]" \ :}\)

\(\displaystyle{ \left[ B(x_{1}) \right]'' \ = \ \left[ 4 \left( x_{1} \ + \ \frac{5}{2} \right) \right]' \ = \ +4}\)

\(\displaystyle{ \bigwedge \limits_{x_{1} \in \Re } \left[ B''(x_{1}) \ > \ 0 \right] \ \Leftrightarrow \ \bigvee\limits_{ E \limits_{lok}^{min}\left( x_{e} \ ; \ y_{e} \right)} \begin{cases} x_{e} \ = \ -\frac{5}{2} \\ y_{e} \ = \ S(x_{e})_{\triangle{ABC}} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ S(-\frac{5}{2})_{\triangle_{ABC}} \ = \ |-\frac{11}{2}| \ = \ max \left( -(-\frac{11}{2} \ ; \ + (-\frac{11}{2}) \right) \ = \ max \left( +\frac{11}{2} \ ; \ -\frac{11}{2}\right) \ = \ +\frac{11}{2}}\)

\(\displaystyle{ C \left( x_{1} \ ; \ f(x_{1})\right)}\)

\(\displaystyle{ C \left(x_{1} \ ; \ x_{1}^{2} \ + \ 6x_{1} \ + \ 10 \right)}\)

\(\displaystyle{ C \left( -\frac{5}{2} \ ; \ \frac {5}{4}\right)}\)

\(\displaystyle{ dla \ {\begin{cases} A \ ( \ -2 \ ; \ -1 \ ) \\ B \ ( \ 2 \ ; \ 3 \ ) \\ C \ ( \ -\frac{5}{2} \ ; \ \frac{5}{4} \ ) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \bigvee\limits_{\triangle_{ABC}} \begin{cases} \left[ S_{\triangle_{ABC}}( -\frac{5}{2} ) \ < \ \left[ S(x)_{\triangle_{ABC}} \ : \ \{ x \in \ D_f(x) \ \backslash \ \{-\frac{5}{2}\} \} \right] \right] \\ S_{\triangle_{ABC}}( -\frac{5}{2} ) \ = \ +\frac {11}{2} \end{cases}}\) \(\displaystyle{ ;}\)
______________________________________________________________________

%