Problem z 2ma zadaniami - sprawdzenie

[piwowarczyk85]

Witam was. Mam następujące zadania:
1. Obliczyć kąt między prostą
\(\displaystyle{ l:{ \begin{cases} x+y+z-2=0 \\ 2x+y-z-1=0 \end{cases}}\) a płaszczyzną wyznaczoną przez punkty \(\displaystyle{ A=(2,3,-1), B=(1,1,0), C=(0,-2,1)}\)

Moje rozwiązanie:
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez te trzy zadane punkty ma postać \(\displaystyle{ x+z-1=0}\)
Teraz posiadając wzór na kąt pomiędzy prostą a płaszczyzną (prosta jest tam przedstawiona w formie kierunkowej) muszę przejść z formy krawędziowej do kierunkowej:
Mamy wektory normalne obu płaszczyzn:
\(\displaystyle{ \vec{n_1}=(1,1,1), \vec{n_2}=(2,1,-1)}\)
Mnożymy
\(\displaystyle{ \vec{n_1} \times \vec{n_2}}\)
otrzymując
\(\displaystyle{ \vec{n_2}=(-2,3,-1)}\)
Znajduję punkt należący do prostej
\(\displaystyle{ (0, \frac{3}{2} , \frac{1}{2} )}\)
no i mam równanie kierunkowe:
\(\displaystyle{ l: \frac{x}{-2} = \frac{y- \frac{3}{2} }{3} = \frac{z- \frac{1}{2} }{-1}}\)

Następnie wszystkie dane podstawiam do wzoru na kąt pomiędzy prostą i płaszczcyzną:
\(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{ \left|Aa+Bb+Cc \right| }{ \sqrt{A ^{2} +B ^{2}+C ^{2}} \sqrt{a ^{2} +b ^{2}+c ^{2}} }= \frac{3}{ \sqrt{28} }}\)
no i wydaje mi się że tutaj na tym etapie - gdy wynik wychodzi taki nie fajny - że coś jest nie tak. Ale co? Macie jakieś spostrzeżenia.

Zad.2
Mam proste:
\(\displaystyle{ l1: \begin{cases} x+y+z=0 \\ 2x+y+2z=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ l2: \begin{cases} x=-t \\y=-8\\z=2+t\end{cases}}\)
Miałem zbadać czy proste są równoległe - SĄ!
Następnie miałem napisać równanie płaszczyzny, w której leżą proste \(\displaystyle{ l1}\) i \(\displaystyle{ l2}\). Oto ono:
\(\displaystyle{ -8x+2y-8z-16=0}\)
Pozostało mi jeszcze tylko wyliczenie tego w jakiej odległości od siebie leżą te proste. Nie mogę nic wymyślić dlatego za każdą pomoc będę wdzięczny.

Czekam na odpowiedź.

[BettyBoo]

1) nie szkodzi,że tak wyszło. Piszesz, że \(\displaystyle{ \alpha=\arcsin\frac{3}{\sqrt{28}}}\) i już. Sugestię mam tylko taką, że nie trzeba korzystać z iloczynu wektorowego (to ma sens wtedy, gdy potrzebujesz tylko wektora kierunkowego, a nie wtedy, gdy szukasz równania w postaci parametrycznej) - wystarczy po prostu rozwiązać ten układ równań.

2) równanie płaszczyzny masz źle (np druga prosta się w niej nie zawiera); pokaż jak to liczyłeś to poszukamy błędu;
dla znalezienia odległości prostych - ponieważ są one równoległe, to weź dowolny punkt z jednej prostej i znajdź jego odległość od drugiej prostej.

Pozdrawiam.