Cześć wszystkim!
Mam problem, otóż w ogóle nie mam pojęcia jak zabrać się do dowodu twierdzenia o polu trójkąta równym 1/2 |det (AB ; AC)|, gdzie AB i AC to wektory
Pole trójkąta, wyznaczniki
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Pole trójkąta, wyznaczniki
Niech A,B,C będą wierzchołkami trójkąta i niech \(\displaystyle{ \vec{AB}=[x_{1},y_{1}], \vec{AC}=[x_{2},y_{2}]}\), wówczas \(\displaystyle{ \vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}=[x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1}]}\). Niech \(\displaystyle{ \alpha= \sphericalangle (\vec{AB},\vec{AC})}\) (dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że kolejność wierzchołków jest tak dobrana, by \(\displaystyle{ \alpha>0}\)).
Na podstawie tw. cosinusów
\(\displaystyle{ |BC|^{2}=|AB|^{2}+|AC|^{2}-2|AB||AC|cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{|AB|^{2}+|AC|^{2}-|BC|^{2}}{2|AB||AC|}=\frac{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}}{2 \sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} }= \\ =\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{ \sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} }}\)
Na podstawie zależności \(\displaystyle{ sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1}\) oraz faktu, ze \(\displaystyle{ sin\alpha>0}\), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ sin\alpha=\sqrt{1-cos^{2}\alpha}={\frac{\sqrt{(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})-(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2}}}{ \sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} }=\frac{\sqrt{(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}=\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{|det(\vec{AB},\vec{AC})|}{|\vec{AB}||\vec{AC}|}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ |det(\vec{AB},\vec{AC})|=|\vec{AB}||\vec{AC}|sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}|det(\vec{AB},\vec{AC})|=\frac{1}{2}|\vec{AB}||\vec{AC}|sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}|det(\vec{AB},\vec{AC})|=S_{\Delta ABC}}\), co kończy dowód.
Na podstawie tw. cosinusów
\(\displaystyle{ |BC|^{2}=|AB|^{2}+|AC|^{2}-2|AB||AC|cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{|AB|^{2}+|AC|^{2}-|BC|^{2}}{2|AB||AC|}=\frac{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}}{2 \sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} }= \\ =\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{ \sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} }}\)
Na podstawie zależności \(\displaystyle{ sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1}\) oraz faktu, ze \(\displaystyle{ sin\alpha>0}\), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ sin\alpha=\sqrt{1-cos^{2}\alpha}={\frac{\sqrt{(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})-(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2}}}{ \sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} }=\frac{\sqrt{(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}=\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{|det(\vec{AB},\vec{AC})|}{|\vec{AB}||\vec{AC}|}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ |det(\vec{AB},\vec{AC})|=|\vec{AB}||\vec{AC}|sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}|det(\vec{AB},\vec{AC})|=\frac{1}{2}|\vec{AB}||\vec{AC}|sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}|det(\vec{AB},\vec{AC})|=S_{\Delta ABC}}\), co kończy dowód.