płaszczyzny - 2 zadania

[Tyson]

zad.1: znaleźć wzajemne położenie prostej \(\displaystyle{ l: \ x= 1 + 2t; \ y= -at; \ z= 2}\) i płaszczyzny \(\displaystyle{ x + 2y - z = 1}\)

zad. 2: wyznacz kąt miedzy prosta \(\displaystyle{ l: \ x= 1; \ y= 1 - t; \ z= 2 + t}\) i płaszczyzna \(\displaystyle{ x - z + 5 = 0}\)

Liczę na waszą pomoc, pozdrawiam

[lukki_173]

W zadaniu pierwszym podstaw sobie jakiś punkt należący do jednej z płaszczyzn i później skorzystaj z gotowego wzorku na obliczanie odległości punktu od płaszczyzny.

[Crizz]

Zad.2:
Wektor normalny płaszczyzny: \(\displaystyle{ \vec{u}=[1,0,-1]}\)
Wektor kierunkowy prostej: \(\displaystyle{ \vec{v}=[0,-1,1]}\)

Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie kątem między tymi dwoma wektorami, a \(\displaystyle{ \beta}\) kątem szukanym w zadaniu, wówczas:
\(\displaystyle{ \vec{u} \circ \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| cos\alpha}\)

\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{\vec{u} \circ \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}}\)

\(\displaystyle{ cos\alpha=sin\beta}\)

\(\displaystyle{ sin\beta=\frac{\vec{u} \circ \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}}\)

\(\displaystyle{ sin\beta=\frac{1 \cdot 0+ 0 \cdot (-1)+ (-1) \cdot 1}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+0^{2}} \cdot \sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+0^{2}}}=...}\)