Równanie hiperboli przechodzącej przez punkty

adi1910 · Post autor: **adi1910** » 6 lut 2010, o 22:20

Znaleźć równanie hiperboli \(\displaystyle{ b^2x^2-a^2y^2=2a^2b^2}\). Jeśli wiadomo, że punkt \(\displaystyle{ (2,1)}\) należy do hiperboli oraz \(\displaystyle{ (-4, \sqrt{7})}\) też należy do hiperboli.

w tym wypadku wystarczy rozwiązać taki układ równań?
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4b^2-a^2=2a^2b^2\\ 16b^2-7a^2=2a^2b^2\end{cases}}\)
jeśli tak to w jaki sposób...

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 6 lut 2010, o 22:24

Wystarczy, Jeśli Ci się źle na ten układ patrzy, to sobie oznacz \(\displaystyle{ a^2=c,\ b^2=d}\) i wszystko się stanie jasne

Na wypadek, gdyby się nie stało jasne:

Pozdrawiam.

adi1910 · Post autor: **adi1910** » 6 lut 2010, o 22:39

\(\displaystyle{ c= \frac{4d}{1+2d}}\) ?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 6 lut 2010, o 22:47

Dobrze jest...a teraz wstawiaj do drugiego równania - i ładnie wychodzi.

Pozdrawiam.

adi1910 · Post autor: **adi1910** » 6 lut 2010, o 22:56

jakoś dziwnie mi wychodzi... - jaki jest prawidlowy wynik?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 6 lut 2010, o 23:04

Właściwie to można łatwiej rozwiązać Wystarczy odjąć stronami równania, skąd masz natychmiast \(\displaystyle{ c=2d}\).

Jak to teraz wstawisz np do pierwszego równania to wychodzi \(\displaystyle{ 2d=4d^2}\), czyli \(\displaystyle{ d=0\ \vee\ d=\frac{1}{2}}\).

Oczywiście \(\displaystyle{ d\neq 0}\) zatem \(\displaystyle{ d=b^2=\frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ c=a^2=1}\).

Pozdrawiam.