okręgi styczne zewnętrznie

[tomi140]

Dla jakich wartości parametru m okręgi o równaniach \(\displaystyle{ O _{1}}\): \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}-2x+2my+m ^{2}=0}\)

\(\displaystyle{ O _{2}}\) : \(\displaystyle{ (x-1) ^{2}+(y-m) ^{2}=m ^{2}-4m+4}\)

są zewnętrznie styczne?


Wiem , że trzeba użyć wzoru \(\displaystyle{ \left|O _{1}O _{2} \right|=r _{1}+r _{2}}\)
mi wychodzi \(\displaystyle{ m=1 \vee m=5}\)
a w odp jest \(\displaystyle{ m=1 \vee m=-3}\)

[lukasz1804]

Okrąg \(\displaystyle{ O_1}\) ma środek w punkcie \(\displaystyle{ (1,-m)}\), a promień jest długości 1. Z kolei okrąg \(\displaystyle{ O_2}\) ma środek w punkcie \(\displaystyle{ (1,m)}\), a promień jest długości \(\displaystyle{ |m-2|}\).
Stąd i z założenia, że okręgi te są zewnętrznie styczne, dostajemy równanie \(\displaystyle{ \sqrt{(1-1)^2+(m-(-m))^2}=1+|m-2|}\), tj.

\(\displaystyle{ 2|m|=1+|m-2|}\).

Rozważmy przypadki.
1) Dla \(\displaystyle{ m<0}\) mamy \(\displaystyle{ 2(-m)=1-(m-2)}\), czyli \(\displaystyle{ -2m=3-m}\), tj. \(\displaystyle{ m=-3}\).
2) Dla \(\displaystyle{ 0\le m<2}\) mamy \(\displaystyle{ 2m=1-(m-2)}\), czyli \(\displaystyle{ 2m=3-m}\), tj. \(\displaystyle{ m=1}\).
3) Dla \(\displaystyle{ m\ge 2}\) mamy zaś \(\displaystyle{ 2m=1+(m-2)}\), więc \(\displaystyle{ m=-1}\), skąd wnioskujemy, że w tym przypadku równanie nie ma rozwiązania.

[tomi140]

czemu wnioskujemy , że nie ma rozwiązań w ostatnim przypadku??

[lukasz1804]

Rozważaliśmy przypadek \(\displaystyle{ m\ge 2}\), a dostaliśmy rozwiązanie \(\displaystyle{ m=-1}\), które tego warunku nie spełnia.

[tomi140]

aha faktycznie:)