Cześć
Mam oto takie zadanie, które pojawiło się na egzaminie i nie wiem jak się do niego dobrać.
Oto jego treść:
Znaleźć rzut ukośny w kierunku wekota \(\displaystyle{ w = (1,-1,1)}\) prostej l: \(\displaystyle{ x=-2y=3z}\) na płaszczyznę pi: \(\displaystyle{ x+y+z-5=0}\)
Byłbym bardzo wdzięczny za wszelkie wskazówki, podpowiedzi czy rozwiązania.
Pozdrawiam
astro
Rzut ukośny w kierunku wektora
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Rzut ukośny w kierunku wektora
1. Obierasz dwa dowolne punkty podanej prostej, np.
\(\displaystyle{ A=(0,0,0) \\ B=(6,-3,2)}\)
2. Znajdujesz równania prostych k i l, równoległych do \(\displaystyle{ \vec{w}}\) i przechodzących odpowiednio przez A i B:
\(\displaystyle{ k: \begin{cases} x=t \\ y=-t \\ z=t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=t+6 \\ y=-t-3 \\ z=t+2 \end{cases}}\)
3. Znajdujesz punkty wspólne A' i B' prostych k i l z płaszczyzną \(\displaystyle{ \pi}\):
\(\displaystyle{ k \cap \pi: t-t+t-5=0}\)
\(\displaystyle{ t=5}\)
\(\displaystyle{ A'=(5,-5,5)}\)
\(\displaystyle{ l \cap \pi: (t+6)+(-t-3)+(t+2)-5=0}\)
\(\displaystyle{ t=0}\)
\(\displaystyle{ B'=(6,-3,2)}\)
A' i B' są rzutami odpowiednio punktów A i B na podaną płaszczyznę w kierunku \(\displaystyle{ \stackrel{^}{w}}\). Skoro znasz dwa punkty podanej prostej, to bez problemu możesz podać jej równanie.
Równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=(x_{1}-x_{2})t+x_{1} \\ y=(y_{1}-y_{2})t+y_{1} \\x=(z_{1}-z_{2})t+z_{1} \end{cases}}\)
Stąd szukaną prostą jest
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t+5 \\ y=2t-5 \\ z=-3t+5 \end{cases}}\)
Sprawdź jeszcze dokładnie wszystkie obliczenia.
\(\displaystyle{ A=(0,0,0) \\ B=(6,-3,2)}\)
2. Znajdujesz równania prostych k i l, równoległych do \(\displaystyle{ \vec{w}}\) i przechodzących odpowiednio przez A i B:
\(\displaystyle{ k: \begin{cases} x=t \\ y=-t \\ z=t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=t+6 \\ y=-t-3 \\ z=t+2 \end{cases}}\)
3. Znajdujesz punkty wspólne A' i B' prostych k i l z płaszczyzną \(\displaystyle{ \pi}\):
\(\displaystyle{ k \cap \pi: t-t+t-5=0}\)
\(\displaystyle{ t=5}\)
\(\displaystyle{ A'=(5,-5,5)}\)
\(\displaystyle{ l \cap \pi: (t+6)+(-t-3)+(t+2)-5=0}\)
\(\displaystyle{ t=0}\)
\(\displaystyle{ B'=(6,-3,2)}\)
A' i B' są rzutami odpowiednio punktów A i B na podaną płaszczyznę w kierunku \(\displaystyle{ \stackrel{^}{w}}\). Skoro znasz dwa punkty podanej prostej, to bez problemu możesz podać jej równanie.
Równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=(x_{1}-x_{2})t+x_{1} \\ y=(y_{1}-y_{2})t+y_{1} \\x=(z_{1}-z_{2})t+z_{1} \end{cases}}\)
Stąd szukaną prostą jest
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t+5 \\ y=2t-5 \\ z=-3t+5 \end{cases}}\)
Sprawdź jeszcze dokładnie wszystkie obliczenia.