Równania boków kwadratu

damin05 · Post autor: **damin05** » 5 lut 2010, o 18:09

proszę o pomc

W kwadracie \(\displaystyle{ ABCD}\) dany jest wierzchołek \(\displaystyle{ A=(1,0)}\) i \(\displaystyle{ \vec{AC} = [3,2]}\). Znaleźć równania boków tego kwadratu

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 6 lut 2010, o 09:53

Wskazówka:

Możesz np. kolejno zrobić tak:

- znaleźć współrzędne punktu C
- znaleźć współrzędne punktu S środka przekątnej AC
- napisać równanie prostej prostopadłej do AC przechodzącej przez punkt S
- znaleźć współrzędne punktów B i D korzystając z równości odcinków |BS|=|BD|=|AS|
- napisać równania boków kwadratu

damin05 · Post autor: **damin05** » 6 lut 2010, o 10:57

no to tak:
- współrzędne punktu C=(4,2)
-współrzędne \(\displaystyle{ S=(\frac{5}{2} , 1)}\)
-równanie prostej prostopadłej do AC \(\displaystyle{ y=-\frac{3}{2}x +4\frac{3}{4}}\)
- atutaj to nie wiem jak to zapisać??????
napisałem tylko że |AS|= \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{5}{2}}}\)

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 6 lut 2010, o 11:29

Z tego co widzę, to masz źle obliczoną długość |AS|. Sprawdź i popraw.

Teraz wiesz, że punkty B i D leżą na prostej której równanie wyznaczyłeś. Masz więc znaleźć współrzędne punktów odległych od punktu S o wartość |AS| i leżących na tej prostej.

Współrzędne punktów na tej prostej mają wartości:

\(\displaystyle{ \left( x;- \frac{3}{2} x+4 \frac{3}{4} \right)}\)

Ich odległość od punktu S jest równa:

\(\displaystyle{ \sqrt{ \left(x- \frac{5}{2} \right) ^{2}+ \left(... \right)^{2}}=|AS|}\)

Uzupełnij równanie, zamiast |AS| wstaw obliczoną wcześniej wartość (poprawną) i rozwiązując to równanie wyznaczysz dwie wartości x które je spełniają. Dla tych wartości x obliczysz drugie współrzędne.

damin05 · Post autor: **damin05** » 6 lut 2010, o 13:10

|AS|=\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{13}{2}}}\)

a to równanie to ma być takie??
\(\displaystyle{ \sqrt{ \left(x- \frac{5}{2} \right) ^{2}+ \left(-\frac{3}{2}x +3\frac{3}{4} \right)^{2}}= \sqrt{\frac{13}{2}}}\)

to tutaj delta wychodzi ujemna i nie wiem co dalej z tym zrobić??
może jeszcze jakaś podpowiedź, bo po prostu nie czaje tego/

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 6 lut 2010, o 14:12

damin05 pisze:|AS|=\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{13}{2}}}\)

Coś nie tak:

\(\displaystyle{ A(1;0) \ ; \
S \left( \frac{5}{2} ; 1 \right)}\)

\(\displaystyle{ |AS|= \sqrt{\left( \frac{5}{2}-1 \right)^{2}+(1-0)^{2} } = \sqrt{ \frac{9}{4} +1}= \sqrt{ \frac{13}{4} }= \frac{ \sqrt{13} }{2}}\)

Niezależnie od tego błędu, to i tak delta nie wychodzi ujemna. Oczywiście chodzi o deltę po przekształceniu równania i doprowadzeniu go do postaci:

\(\displaystyle{ ax^{2}+bx+c=0}\)

damin05 · Post autor: **damin05** » 6 lut 2010, o 15:39

no fakt jest pare pomyłek ale i tak wychodzi mi coś takiego po przekształceniach:

\(\displaystyle{ 52x^2 -320x +273= 0}\)

i ztego delta \(\displaystyle{ 45616}\)

więc strasznie duże liczby wychodzą, a poza tym pierwiastek z delty nie wyjdzie

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 6 lut 2010, o 16:23

Znowu gdzieś zrobiłeś błąd. Sprawdź swoje rachunki i popraw. Powinno wyjść tak:

\(\displaystyle{ 52x^{2}-260x+273=0}\)

Co można oczywiście skrócić przez 13 otrzymując:

\(\displaystyle{ 4x^{2}-20x+21=0}\)

damin05 · Post autor: **damin05** » 6 lut 2010, o 16:41

ok, wyszły mi takie pierwiastki:
\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}= \frac{7}{2}}\)

z tego punkt B ma współrzędne \(\displaystyle{ (\frac{3}{2} , 2)}\)

a D \(\displaystyle{ (\frac{7}{2} , 1)}\)

zatem równanie boku AB wyjdzie \(\displaystyle{ -4x +y +4 =0}\)

natomiast w odpowiedziach mam takie wyniki:
\(\displaystyle{ AB: x+3y-1 =0}\)
\(\displaystyle{ BC: 3x- y-10 =0}\)
\(\displaystyle{ CD: x+3y -11=0}\)
\(\displaystyle{ DA: 3x- y - 3=0}\)

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 6 lut 2010, o 17:57

damin05 pisze:ok, wyszły mi takie pierwiastki:
\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}= \frac{7}{2}}\)

z tego punkt B ma współrzędne \(\displaystyle{ (\frac{3}{2} , 2)}\)

a D \(\displaystyle{ (\frac{7}{2} , 1)}\)

Musisz uważniej liczyć. Jeżeli \(\displaystyle{ x_{1}= \frac{3}{2}}\), to:

\(\displaystyle{ y_{1}=- \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}+4 \frac{3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}}\)

Podobnie popraw współrzędne drugiego punktu.

damin05 pisze: natomiast w odpowiedziach mam takie wyniki:
\(\displaystyle{ AB: x+3y-1 =0}\)
\(\displaystyle{ BC: 3x- y-10 =0}\)
\(\displaystyle{ CD: x+3y -11=0}\)
\(\displaystyle{ DA: 3x- y - 3=0}\)

Niestety te wyniki nie mogą być poprawne, bo wystarczy sprawdzić odległość pomiędzy prostymi AB i CD oraz BC i DA:

\(\displaystyle{ AB: x+3y-1 =0}\)
\(\displaystyle{ CD: x+3y -11=0}\)

\(\displaystyle{ d_{1}= \frac{|-11-(-1)|}{ \sqrt{1^{2}+3^{2}} }= \frac{10}{ \sqrt{10} }= \sqrt{10}}\)

\(\displaystyle{ BC: 3x- y-10 =0}\)
\(\displaystyle{ DA: 3x- y - 3=0}\)

\(\displaystyle{ d_{2}= \frac{|-11-(-3)|}{ \sqrt{1^{2}+3^{2}} }= \frac{8}{ \sqrt{10} }= \frac{4 \sqrt{10} }{ 5}}\)

Ponieważ odległości pomiędzy przeciwległymi bokami nie są równe to czworokąt wyznaczony przez te proste nie może być kwadratem