równanie płaszczyzny równoległej do prostej i przechodzącej

darecki · Post autor: **darecki** » 2 lut 2010, o 22:31

Jak napisać równanie normalne płaszczyzny równoległej do prostej k: \(\displaystyle{ \frac{x-1}{2}=y+2= \frac{z}{3}}\) i przechodzącej przez środek układu współrzędnych oraz pkt P \(\displaystyle{ = \left1,2,3( \right)}\)

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 3 lut 2010, o 12:32

\(\displaystyle{ \vec{k}=[2,1,3],\ \vec{OP}=[1,2,3]}\)

Iloczyn wektorowy tych dwóch wektorów (kierunkowego prostej i zrobionego z dwóch punktów, które do płaszczyzny należą) daje wektor normalny płaszczyzny.

Pozdrawiam.

darecki · Post autor: **darecki** » 3 lut 2010, o 13:41

więc \(\displaystyle{ \vec{k}* \vec{OP} = \left[-3,-3,3 \right]}\), a równanie płaszczyzny wtedy \(\displaystyle{ -3 \left(x-2 \right)-3 \left( y-1\right) +3 \left(z-3 \right) =0}\)
zgadza się?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 3 lut 2010, o 13:49

Zgadza się (z dokładnością do oznaczenia iloczynu wektorowego - do tego służy komenda imes ), chociaż po pierwsze, nie musisz brać tego wektora, wystarczy dowolny do niego równoległy, np \(\displaystyle{ [1,1,-1]}\), a punkt może być równie dobrze początkiem układu, więc równanie upraszcza się natychmiast do \(\displaystyle{ x+y-z=0}\) (oczywiście Tobie to samo wyjdzie, ale po przekształceniach).

Pozdrawiam.

darecki · Post autor: **darecki** » 3 lut 2010, o 13:53

akurat chciałem podstawic wetor P\(\displaystyle{ \left( 1,2,3\right)}\)a nie k\(\displaystyle{ \left[ 2,1,3\right]}\)ale skoro nie ma znaczenia...bo faktycznie po przekształceniach wyszło \(\displaystyle{ -x-y+z=0}\)
dzięki

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 3 lut 2010, o 13:55

Nie nie...zaraz....to co piszesz oznacza, że Ci dobrze wyszło zupełnym przypadkiem W nawiasie to nie są współrzędne żadnego wektora, tylko punktu!

Pozdrawiam.

darecki · Post autor: **darecki** » 3 lut 2010, o 13:58

no bo właśnie ma przechodzić przez pkt p left( 1,2,3
ight) nie mogę tego podstawić?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 3 lut 2010, o 14:01

darecki pisze:no bo właśnie ma przechodzić przez pkt p left( 1,2,3
ight) nie mogę tego podstawić?

Oczywiście, że możesz, ale Ty napisałeś tak:

darecki pisze:akurat chciałem podstawic wetor P\(\displaystyle{ \left( 1,2,3\right)}\)a nie k\(\displaystyle{ \left[ 2,1,3\right]}\)

a to chyba co innego znaczy

Pozdrawiam.

darecki · Post autor: **darecki** » 3 lut 2010, o 14:03

przejęzyczyłem się...czyli do tego równania podstawiamy np.współrz pkt P i mamy wynik?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 3 lut 2010, o 14:05

Do równania płaszczyzny wstawiasz współrzędne dowolnego wektora prostopadłego do płaszczyzny oraz dowolnego punktu który do niej należy - punktem może być np \(\displaystyle{ P}\).

Pozdrawiam.

darecki · Post autor: **darecki** » 3 lut 2010, o 14:07

dzięki
pozdrawiam