Hej może ktoś rozwiązać takie zadanko:
Wyznaczyc równania wszystkich prostych, które sa styczne jednoczesnie do obu okregów
(x − 1)^2 + (y − 1)^2 = 1 oraz (x − 5)^2 + (y − 1)^2 = 1.
Obliczenia zilustrowac odpowiednim rysunkiem.
Z góry dzięki!!!:)
proste styczne do okręgów
-
Elwircia88
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 22 lis 2008, o 19:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
-
masterpiece
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 15 lip 2009, o 13:40
- Płeć: Mężczyzna
- Pomógł: 5 razy
proste styczne do okręgów
Jutro postaram się umieścić rysunek
Zrobiłbym to w ten sposób:
1. Równania 2 prostych widać z rysunku (który jutro zamieszczę), są to:
\(\displaystyle{ l_{1}: y=2}\)
\(\displaystyle{ l_{2}: y=0}\)
2.Po narysowaniu okręgów wyznaczmy środek odcinka \(\displaystyle{ \left| S_{1} S_{2}\right|}\)
\(\displaystyle{ O= \left( 3,1\right)}\)
3. Oznaczamy punkty styczności naszej prostej \(\displaystyle{ l_{3}}\) jako: \(\displaystyle{ R= \left( x_{r},y_{r}\right)}\) i \(\displaystyle{ P= \left( x_{P},Y_{P}\right)}\). Środek odcinka \(\displaystyle{ \left| S_{1} S_{2}\right|}\) jest również środkiem odcinka \(\displaystyle{ \left|PR \right|}\) (udowodnię to korzystając z rysunku)
4. Nasza prosta \(\displaystyle{ l_{3}}\) ma równanie \(\displaystyle{ y=ax+b}\) i przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ O= \left( 3,1\right)}\). Podstawiamy współrzędne punktu do równania i mamy:
\(\displaystyle{ y=ax+1-3a}\), w kierunkowej:
\(\displaystyle{ ax-y+1-3a=0}\), w postaci ogólnej
5. Odległość środka okręgu \(\displaystyle{ S_{1}}\) od prostej \(\displaystyle{ l_{3}}\) dana jest wzorem:
\(\displaystyle{ d= \frac{ \left| a \cdot 1 -1 \cdot 1 +1-3a\right| }{ \sqrt{a^2 +1} }}\). Po przekształceniach otrzymujemy współczynnik kierunkowy prostej:
\(\displaystyle{ a= \frac{\sqrt{3}}{3} \vee a=- \frac{\sqrt{3}}{3}}\)
6. Jak widać otrzymaliśmy dwa współczynniki (czyli dwie proste, czego można się było spodziewać biorąc pod uwagę, że mieliśmy do czynienia z równaniem pierwiastkowym). Wyznaczmy jeszcze wyraz wolny dla obu prostych:
\(\displaystyle{ b=1-3a}\)
\(\displaystyle{ b_{3}=1- \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ b_{4}= 1+ \sqrt{3}}\)
Dobra trochę to zagmatwane więc podsumujmy:
\(\displaystyle{ l_{1}: y=2}\)
\(\displaystyle{ l_{2}: y=0}\)
\(\displaystyle{ l_{3}: y= \frac{\sqrt{3}}{3} x+1- \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ l_{4}: y=- \frac{\sqrt{3}}{3} x+1+ \sqrt{3}}\)-- 7 lut 2010, o 20:47 --Wrzucam rysunki:
Zrobiłbym to w ten sposób:
1. Równania 2 prostych widać z rysunku (który jutro zamieszczę), są to:
\(\displaystyle{ l_{1}: y=2}\)
\(\displaystyle{ l_{2}: y=0}\)
2.Po narysowaniu okręgów wyznaczmy środek odcinka \(\displaystyle{ \left| S_{1} S_{2}\right|}\)
\(\displaystyle{ O= \left( 3,1\right)}\)
3. Oznaczamy punkty styczności naszej prostej \(\displaystyle{ l_{3}}\) jako: \(\displaystyle{ R= \left( x_{r},y_{r}\right)}\) i \(\displaystyle{ P= \left( x_{P},Y_{P}\right)}\). Środek odcinka \(\displaystyle{ \left| S_{1} S_{2}\right|}\) jest również środkiem odcinka \(\displaystyle{ \left|PR \right|}\) (udowodnię to korzystając z rysunku)
4. Nasza prosta \(\displaystyle{ l_{3}}\) ma równanie \(\displaystyle{ y=ax+b}\) i przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ O= \left( 3,1\right)}\). Podstawiamy współrzędne punktu do równania i mamy:
\(\displaystyle{ y=ax+1-3a}\), w kierunkowej:
\(\displaystyle{ ax-y+1-3a=0}\), w postaci ogólnej
5. Odległość środka okręgu \(\displaystyle{ S_{1}}\) od prostej \(\displaystyle{ l_{3}}\) dana jest wzorem:
\(\displaystyle{ d= \frac{ \left| a \cdot 1 -1 \cdot 1 +1-3a\right| }{ \sqrt{a^2 +1} }}\). Po przekształceniach otrzymujemy współczynnik kierunkowy prostej:
\(\displaystyle{ a= \frac{\sqrt{3}}{3} \vee a=- \frac{\sqrt{3}}{3}}\)
6. Jak widać otrzymaliśmy dwa współczynniki (czyli dwie proste, czego można się było spodziewać biorąc pod uwagę, że mieliśmy do czynienia z równaniem pierwiastkowym). Wyznaczmy jeszcze wyraz wolny dla obu prostych:
\(\displaystyle{ b=1-3a}\)
\(\displaystyle{ b_{3}=1- \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ b_{4}= 1+ \sqrt{3}}\)
Dobra trochę to zagmatwane więc podsumujmy:
\(\displaystyle{ l_{1}: y=2}\)
\(\displaystyle{ l_{2}: y=0}\)
\(\displaystyle{ l_{3}: y= \frac{\sqrt{3}}{3} x+1- \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ l_{4}: y=- \frac{\sqrt{3}}{3} x+1+ \sqrt{3}}\)-- 7 lut 2010, o 20:47 --Wrzucam rysunki: