Witam
Miałem to zadanie na egzaminie i nie bardzo wiem jak sie za nie zabrać, może mi ktoś je wytłumaczyć lub w pełni rozwiązać, tak by służyło mi jako wzór do podobnych zadań.
Zbadaj czy proste \(\displaystyle{ l_{1}}\) i \(\displaystyle{ l_{2}}\) są prostopadłe:
\(\displaystyle{ l_{1}=\begin{cases} 2x+y+z-1=0\\-x+y-z+2=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ l_{2}=\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=z}\)
\(\displaystyle{ Dziekuje}\)
Zbadaj czy prose są prostopadłe
-
Poodzian
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 11 paź 2007, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 62 razy
Zbadaj czy prose są prostopadłe
Wszystko sprowadza się do wyznaczenia wektora kierunkowego każdej z prostych - wiadomo bowiem, że jego cechą jest równoległość do prostej, którą opisuje. Zatem dwie proste będą prostopadłe, jeśli ich wektory kierunkowe będą prostopadłe
Z takim wektorem od drugiej prostej nie powinno być problemu - z mianowników ułamków odczytuje się niezbędne współrzędne: \(\displaystyle{ \vec{v_{2}}=[2, 3, 1]}\)
Równanie drugiej prostej należy także zapisać w postaci kanonicznej. W tym celu obiera się dwa dowolne punkty leżące na tej prostej (dla pierwszego punktu obierasz na przykład \(\displaystyle{ x=0}\) i rozwiązujesz powstały układ równań, a dla drugiego \(\displaystyle{ x=1}\) - pełna dowolność)
Dla tak przyjętych pierwszych współrzędnych powinny wyjść punkty \(\displaystyle{ A\left(0, -\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)}\) oraz \(\displaystyle{ B(1, -1, 0)}\)
Wektorem kierunkowym będzie wektor powstały przez połączenie obu tych punktów: \(\displaystyle{ \vec{v_{1}}=\left[1-0, -1+\frac{1}{2}, 0-\frac{3}{2}\right]}\)
I teraz już tylko iloczyn skalarny obu tych wektorów - jeżeli będzie równy zeru, oznacza to, że wektory i ich proste zarazem, są prostopadłe, co należało sprawdzić
Z takim wektorem od drugiej prostej nie powinno być problemu - z mianowników ułamków odczytuje się niezbędne współrzędne: \(\displaystyle{ \vec{v_{2}}=[2, 3, 1]}\)
Równanie drugiej prostej należy także zapisać w postaci kanonicznej. W tym celu obiera się dwa dowolne punkty leżące na tej prostej (dla pierwszego punktu obierasz na przykład \(\displaystyle{ x=0}\) i rozwiązujesz powstały układ równań, a dla drugiego \(\displaystyle{ x=1}\) - pełna dowolność)
Dla tak przyjętych pierwszych współrzędnych powinny wyjść punkty \(\displaystyle{ A\left(0, -\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)}\) oraz \(\displaystyle{ B(1, -1, 0)}\)
Wektorem kierunkowym będzie wektor powstały przez połączenie obu tych punktów: \(\displaystyle{ \vec{v_{1}}=\left[1-0, -1+\frac{1}{2}, 0-\frac{3}{2}\right]}\)
I teraz już tylko iloczyn skalarny obu tych wektorów - jeżeli będzie równy zeru, oznacza to, że wektory i ich proste zarazem, są prostopadłe, co należało sprawdzić