\(\displaystyle{ x^2 + y^2 = 5}\)
A(0,5)
znajdz styczna do okregu przechodzaca przez pkt A.
styczna
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
styczna
Temat dość ubogi, ale niech będzie...
Szukamy równania stycznej, czyli prostej przechodzącej przez punkt A=(0,5) i mającej z okręgiem o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2=5}\) jeden punkt wspólny.
Niech prosta ta ma równanie y=ax+b. Skoro przechodzi przez punkt A to 5=a*0+b, czyli b=5. Wiemy już, że styczna ma postać y=ax+5. Podstawiamy to do równania okręgu:
\(\displaystyle{ x^2+(ax+5)^2=5}\)
\(\displaystyle{ (a^2+1)x^2+10ax+20=0}\)
Pamiętamy o tym, że szukana prosta ma tylko jeden punkt wspólny z okręgiem, więc dla tego równania kwadratowego musi zachodzić warunek \(\displaystyle{ \Delta=0}\), czyli:
\(\displaystyle{ 100a^2-80(a^2+1)=0}\)
\(\displaystyle{ a^2=4}\)
\(\displaystyle{ a=2 a=-2}\)
Więc istnieją dwie proste spełniające warunki zadania i są to:
\(\displaystyle{ y_{1}=-2x+5,y_{2}=2x+5}\)
Szukamy równania stycznej, czyli prostej przechodzącej przez punkt A=(0,5) i mającej z okręgiem o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2=5}\) jeden punkt wspólny.
Niech prosta ta ma równanie y=ax+b. Skoro przechodzi przez punkt A to 5=a*0+b, czyli b=5. Wiemy już, że styczna ma postać y=ax+5. Podstawiamy to do równania okręgu:
\(\displaystyle{ x^2+(ax+5)^2=5}\)
\(\displaystyle{ (a^2+1)x^2+10ax+20=0}\)
Pamiętamy o tym, że szukana prosta ma tylko jeden punkt wspólny z okręgiem, więc dla tego równania kwadratowego musi zachodzić warunek \(\displaystyle{ \Delta=0}\), czyli:
\(\displaystyle{ 100a^2-80(a^2+1)=0}\)
\(\displaystyle{ a^2=4}\)
\(\displaystyle{ a=2 a=-2}\)
Więc istnieją dwie proste spełniające warunki zadania i są to:
\(\displaystyle{ y_{1}=-2x+5,y_{2}=2x+5}\)