Mam takie zadanie (z egzaminu z algebry z lat ubiegłych):
prosta l1: x=t, y=1+2t, z=-t
prosta l2: x=1+t, y=3+t, z=-1+2t
Mam sprawdzić czy proste leżą w jednej płaszczyźnie i jeśli tak to znaleźć jej równanie. Proszę o pomoc/wskazówki.
Z góry dzięki
edit:
Czy rozumowanie, że jeśli się przecinają lub są równoległe to leżą w jednej płaszczyźnie, a jeśli te warunki nie zachodzą to nie leżą, jest poprawne?
czy proste leżą w tej samej płaszczyźnie
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
czy proste leżą w tej samej płaszczyźnie
Wektor kierunkowy prostej l1: \(\displaystyle{ \vec{u}=[1,2,-1]}\)
Wektor kierunkowy prostej l2: \(\displaystyle{ \vec{v}=[1,1,2]}\)
Punkt prostej l1: \(\displaystyle{ A(0,1,0)}\)
Punkt prostej l2: \(\displaystyle{ B(1,3,-1)}\)
Metoda pierwsza:
Wektor AB: \(\displaystyle{ \vec{AB}=[1,2,-1]}\)
Sprawdzasz, czy wektory \(\displaystyle{ \vec{AB},\vec{u},\vec{v}}\) są liniowo zależne:
\(\displaystyle{ [0,0,0]=x[1,2,-1]+y[1,1,2]+z[1,2,-1]=[x+y+z,2x+y+2z,-x+2y-z]}\)
Rozwiązaniem tego układu jest np. \(\displaystyle{ (1,0,-1)}\), zatem wektory są liniowo zależne. To oznacza, że leżą w jednej płaszczyźnie.
Metoda druga:
Ponieważ wektory kierunkowe tych prostych nie są równoległe, to sprawdzasz, czy te proste mają punkt wspólny, tzn. szukasz takich \(\displaystyle{ t_{1},t_{2}}\), żeby:
\(\displaystyle{ \begin{cases} t_{1}=1+t_{2} \\ 1+2t_{1}=3+t_{2} \\ -t_{1}=-1+2t_{2} \end{cases}}\)
Rozwiązaniem układu jest \(\displaystyle{ t_{1}=1,t_{2}=0}\); w obu przypadkach (podstawiając \(\displaystyle{ t_{1}}\) do równania l1 lub \(\displaystyle{ t_{2}}\) do równania l2) otrzymasz ten sam punkt \(\displaystyle{ C=(1,3,-1)}\), który jest punktem wspólnym l1 i l2. Skoro l1 i l2 mają punkt wspólny, to leżą w jednej płaszczyźnie.
Skoro wiesz już, że leżą w jednej płaszczyźnie, obliczasz wektor normalny tej płaszczyzny jako iloczyn wektorowy wektorów kierunkowych l1 i l2: \(\displaystyle{ [1,2,-1] \times [1,1,2]=[5,-3,-1]}\).
Równanie szukanej płaszczyzny możesz zapisać w postaci \(\displaystyle{ 5(x-x_{0})-3(y-y_{0})-(z-z_{0})=0}\). Za \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0},z_{0})}\) możesz podstawić dowolny z punktów dowolnej z prostych (np. któryś z punktów A,B,C).-- 31 stycznia 2010, 15:28 --
Wektor kierunkowy prostej l2: \(\displaystyle{ \vec{v}=[1,1,2]}\)
Punkt prostej l1: \(\displaystyle{ A(0,1,0)}\)
Punkt prostej l2: \(\displaystyle{ B(1,3,-1)}\)
Metoda pierwsza:
Wektor AB: \(\displaystyle{ \vec{AB}=[1,2,-1]}\)
Sprawdzasz, czy wektory \(\displaystyle{ \vec{AB},\vec{u},\vec{v}}\) są liniowo zależne:
\(\displaystyle{ [0,0,0]=x[1,2,-1]+y[1,1,2]+z[1,2,-1]=[x+y+z,2x+y+2z,-x+2y-z]}\)
Rozwiązaniem tego układu jest np. \(\displaystyle{ (1,0,-1)}\), zatem wektory są liniowo zależne. To oznacza, że leżą w jednej płaszczyźnie.
Metoda druga:
Ponieważ wektory kierunkowe tych prostych nie są równoległe, to sprawdzasz, czy te proste mają punkt wspólny, tzn. szukasz takich \(\displaystyle{ t_{1},t_{2}}\), żeby:
\(\displaystyle{ \begin{cases} t_{1}=1+t_{2} \\ 1+2t_{1}=3+t_{2} \\ -t_{1}=-1+2t_{2} \end{cases}}\)
Rozwiązaniem układu jest \(\displaystyle{ t_{1}=1,t_{2}=0}\); w obu przypadkach (podstawiając \(\displaystyle{ t_{1}}\) do równania l1 lub \(\displaystyle{ t_{2}}\) do równania l2) otrzymasz ten sam punkt \(\displaystyle{ C=(1,3,-1)}\), który jest punktem wspólnym l1 i l2. Skoro l1 i l2 mają punkt wspólny, to leżą w jednej płaszczyźnie.
Skoro wiesz już, że leżą w jednej płaszczyźnie, obliczasz wektor normalny tej płaszczyzny jako iloczyn wektorowy wektorów kierunkowych l1 i l2: \(\displaystyle{ [1,2,-1] \times [1,1,2]=[5,-3,-1]}\).
Równanie szukanej płaszczyzny możesz zapisać w postaci \(\displaystyle{ 5(x-x_{0})-3(y-y_{0})-(z-z_{0})=0}\). Za \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0},z_{0})}\) możesz podstawić dowolny z punktów dowolnej z prostych (np. któryś z punktów A,B,C).-- 31 stycznia 2010, 15:28 --
Tak.stothez pisze: Czy rozumowanie, że jeśli się przecinają lub są równoległe to leżą w jednej płaszczyźnie, a jeśli te warunki nie zachodzą to nie leżą, jest poprawne?