Witam,
Mam takie zadanie: Na paraboli \(\displaystyle{ x = y ^{2}+1}\) znaleść punkt położony najbliżej prostej \(\displaystyle{ x-y=0}\) i przekształcam sobie równanie paraboli do postaci \(\displaystyle{ y ^{2}=x-1}\) i z tego wiem jakie wspołrzędne ma wierzchołek paraboli czyli W=(-1,0) i mam problem jak obliczyć 2p czyli parametr kierownicy
z wszelka pomoc z góry dzieki
parametr paraboli
-
Paul_Kirszner
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 11 lut 2009, o 21:32
- Płeć: Mężczyzna
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
parametr paraboli
Rozumiem, że mówisz o przedstawieniu równania paraboli w postaci \(\displaystyle{ y^{2}=2px}\). Myślę, że tu wyraźnie widać, że \(\displaystyle{ 2p=1}\). Oczywiście, ta parabola jest przesunięta względem paraboli o równaniu \(\displaystyle{ y^{2}=x}\) o jedną jednostkę w prawo (więc wierzchołek jest teraz w punkcie \(\displaystyle{ (1,0)}\), a nie \(\displaystyle{ (-1,0)}\), jak naisałeś), zatem kierownica i ognisko też są przesunięte o jednostkę w prawo (tzn. kierownica \(\displaystyle{ x=-\frac{p}{2}+1=\frac{3}{4}}\), ognisko \(\displaystyle{ (\frac{5}{4},0)}\).
Nie bardzo tylko wiem, jak ta cała wiedza przyda Ci się w tym zadaniu. Ja bym to rozwiązał tak:
Wzór na odległość punktu \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0})}\) od prostej \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\):
\(\displaystyle{ d=\frac{|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}}\)
Dowolny punkt \(\displaystyle{ (x,y)}\) jest zatem odległy od prostej \(\displaystyle{ x-y=0}\) o
\(\displaystyle{ d(x,y)=\frac{|x-y|}{\sqrt{2}}}\)
Każdy punkt paraboli ma współrzędne \(\displaystyle{ (y^{2}+1,y)}\). Odległość danego punktu paraboli od tej prostej wynosi zatem:
\(\displaystyle{ d(y)=\frac{|y^{2}-y+1|}{\sqrt{2}}}\)
Trójmian \(\displaystyle{ y^{2}-y+1}\) nie ma pierwiastków, a współczynnik przy \(\displaystyle{ y^{2}}\) jest dodatni, zatem możemy opuścić moduł, bo wyrazenie pod modułem jest zawsze dodatnie:
\(\displaystyle{ d(y)=\frac{y^{2}-y+1}{\sqrt{2}}}\)
Teraz korzystasz ze wzoru na współrzędne wierzchołka paraboli, albo znajdujesz pochodną, w każdym razie wyznaczasz y, dla którego ta funkcja osiąga minimum:
\(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}}\)
i masz wyznaczony szukany punkt, tzn. \(\displaystyle{ \left(\frac{5}{4},\frac{1}{2}\right)}\)
Nie bardzo tylko wiem, jak ta cała wiedza przyda Ci się w tym zadaniu. Ja bym to rozwiązał tak:
Wzór na odległość punktu \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0})}\) od prostej \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\):
\(\displaystyle{ d=\frac{|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}}\)
Dowolny punkt \(\displaystyle{ (x,y)}\) jest zatem odległy od prostej \(\displaystyle{ x-y=0}\) o
\(\displaystyle{ d(x,y)=\frac{|x-y|}{\sqrt{2}}}\)
Każdy punkt paraboli ma współrzędne \(\displaystyle{ (y^{2}+1,y)}\). Odległość danego punktu paraboli od tej prostej wynosi zatem:
\(\displaystyle{ d(y)=\frac{|y^{2}-y+1|}{\sqrt{2}}}\)
Trójmian \(\displaystyle{ y^{2}-y+1}\) nie ma pierwiastków, a współczynnik przy \(\displaystyle{ y^{2}}\) jest dodatni, zatem możemy opuścić moduł, bo wyrazenie pod modułem jest zawsze dodatnie:
\(\displaystyle{ d(y)=\frac{y^{2}-y+1}{\sqrt{2}}}\)
Teraz korzystasz ze wzoru na współrzędne wierzchołka paraboli, albo znajdujesz pochodną, w każdym razie wyznaczasz y, dla którego ta funkcja osiąga minimum:
\(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}}\)
i masz wyznaczony szukany punkt, tzn. \(\displaystyle{ \left(\frac{5}{4},\frac{1}{2}\right)}\)