Rówanie płaszczyzny zawierającej proste

[Srodus]

Napiszac rówanie płaszczyzny zawierającej proste

\(\displaystyle{ L: \begin{cases} x=1+t \\ y=2-3t \\ z=t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ P: \frac{x-2}{-2}= \frac{y+4}{6} = \frac{z}{-2}}\)

podać równie płaszczyzny w postaci ogólnej, znaleźć rzut punktu A(20,10,0) na tą płaszczyznę

[Crizz]

Odczytujesz wektor kierunkowy prostych L i P:
\(\displaystyle{ \vec{u}=[1,-3,1],\vec{v}=[-2,6,-2]}\)

Zauważasz, że \(\displaystyle{ -2\vec{u}=\vec{v}}\), czyli te proste są równoległe.

Obierasz w takim razie trzy niewspółliniowe punkty tej płaszczyzny (np. dwa punkty prostej L i jeden punkt prostej P), np. \(\displaystyle{ A=(1,2,0),B=(2,-1,1),C=(2,-4,0)}\)

Takie trzy punkty jednoznacznie wyznaczają płaszczyznę, wystarczy teraz znaleźć jej równanie:
-liczysz \(\displaystyle{ \vec{AB},\vec{AC}}\):
\(\displaystyle{ \vec{AB}=[1,-3,1]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AC}=[1,-6,0]}\)
-te dwa wektory należą do szukanej płaszczyzny i nie są równoległe; wystarczy teraz wyliczyć wektor prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez te wektory jako ich iloczyn wektorowy:
\(\displaystyle{ \vec{AB} \times \vec{AC}=[6,1,-3]}\)
-otrzymany wektor jest wektorem normalnym szukanej płaszczyzny, jej równanie możemy zapisać zatem jako:
\(\displaystyle{ 6(x-x_{0})+(y-y_{0})-3(z-z_{0})=0}\)
gdzie \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0},z_{0})}\) jest dowolnym punktem tej płaszczyzny (np. wyznaczonym już A):
\(\displaystyle{ 6(x-1)+(y-2)-3z=0}\)
(możesz sobie jeszcze powymnażać te nawiasy)

[johanneskate]

a gdyby nie były równoległe, to co z takim fantem?

[Crizz]

a gdyby nie były równoległe, to co z takim fantem?

To tym lepiej. Liczysz iloczyn wektorowy tych wektorów i dostajesz wektor normalny szukanej płaszczyzny.

[johanneskate]

a rzut pkt na płaszczyznę? To muszę wyznaczyć równanie prostej prostopadłej do danej płaszczyzny(jej wektor kierunkowy to wektor normalny płaszczyzny), która przechodzi przez dany pkt i później pkt wspólny prostej i płaszczyzny?

[Crizz]

Możesz tak zrobić.

[lsk14]

"To tym lepiej. Liczysz iloczyn wektorowy tych wektorów i dostajesz wektor normalny szukanej płaszczyzny"

Rozumiem że iloczyn wektorowy wektorów kierunkowych prostej ?