styczna do okregu

[Time1500]

Równania prostych prostopadłych do prostej \(\displaystyle{ \frac{x}{4} +y+1=0}\) i stycznych do okregu \(\displaystyle{ (x-1) ^{2}+(y+2) ^{2} =1}\) dane są wzorami.

Rozwiazałem to ale nie wiem czy dobrze.

Wyznaczam prosta prostopadła do podanej w zadaniu

\(\displaystyle{ y = -\frac{1}{4} -1}\) aby prosta była prostopadła a1 * a2 =-1
wiec rówanie prostej prostopadłej to \(\displaystyle{ y = -4x + C}\)
Środek okregu w punkcie (1 ; -2) r= 1
Mogę obliczyć odległość punktu od prostej , bo mam odległość punktu (promień)i współrzędne środka okręgu. Równanie ogólne prostej y+4x -C = 0
\(\displaystyle{ d= \frac{ \left|Axo+Byo+C \right| }{ \sqrt{A ^{2}+B ^{2} } }}\)
\(\displaystyle{ 1 = \frac{ \left|1 \cdot 1+-4 \cdot -2-C \right| }{ \sqrt{1 ^{2}+ 4^{2} } }}\)
\(\displaystyle{ 1= \frac{ \left|9-C \right| }{ \sqrt{17} }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{17} = \left|9-C \right|}\) obu stronnie do kwadratu podnosimy
\(\displaystyle{ 17 = 81-18x+C ^{2}}\)
przenosimy na jedna strone i wyliczamy z równania kwadratowego X1 i X2 i wstawiamy do prostej
y+4x +X1 a druga y +4x+X2

[JankoS]

Coś się porobiło ze znakami przy wstawianiu danych do wzoru na d.
Poprawność rozwiązania można sprawdzić rozwiazując zadanie innym sposobem, np. wyznaczając C tak, żeby układ \(\displaystyle{ \begin{cases} y=-4x+C \\ (x-1)^2+(y+2)^2=1 \end{cases}}\) miał jedno rozwiązanie.

[Time1500]

Nie bardzo wiem jak z tych równań to obliczyc

[JankoS]

y z pierwszego podstawiamy do drugiego. Dostajemy równanie z jedną niewiadomą. Liczymy jego "deltę" i przyrównujemy do zera. Z tego ostatniego wyznaczamy dwie (chyba?) wartości C.
Sposób Kolegi też jest dobry. Tylko w warunku na d winno być.
\(\displaystyle{ \frac{ \left|4 \cdot 1+1 \cdot (-2)+C \right| } { \sqrt{17} }= \frac{|2+C|}{ \sqrt{17} }=1 \Leftrightarrow (2+C=\sqrt{17} \ lub \ 2+C=-\sqrt{17}) \Leftrightarrow ...}\)