Wzajamne położenie prostych

[Srodus]

Zbadaj wznajemne położenie prostych L i P o równaniach :

\(\displaystyle{ L: \begin{cases} x=1 \\ y=2 \\ z= 1+t \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ P: \begin{cases} 9x + y - 2z -9 =0 \\ z- 6 =0 \end{cases}}\)

[Crizz]

Równanie pierwszej prostej masz podane w postaci parametrycznej, podstawiasz współrzędne równania tej prostej do równania drugiej prostej i dostajesz układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 9+2-2-2t-9=0 \\ t+1-6=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} t=0 \\ t=5 \end{cases}}\)

Ten układ jest sprzeczny, czyli proste są zwichrowane albo równoległe (na pewno nie maja punktów wspólnych).

Wyliczasz wektor kierunkowy prostej P jako iloczyn wektorowy wektorów normalnych płaszczyzn \(\displaystyle{ 9x+y-2z-9=0,z-6=0}\):
\(\displaystyle{ \vec{u}=[9,1,-2],\vec{v}=[0,0,1]}\)
\(\displaystyle{ \vec{u} \times \vec{v}=[1,-9,0]}\)

Z równania prostej L odczytujesz jej wektor kierunkowy: \(\displaystyle{ \vec{w}=[0,0,1]}\)
Ponieważ wektory \(\displaystyle{ [0,0,1],[1,-9,0]}\) nie są równoległe, to podane proste są zwichrowane.

[Srodus]

A czy te proste nie mogą byc prostopadłe ??

[Crizz]

Nie rozumiem, czemu zadałeś akurat takie pytanie.

Prostopadłość prostych to ich przecinanie się pod szczególnym kątem (90 stopni; równie dobrze mógłbyś zapytać, czemu te proste nie mogą się przecinać pod kątem 7 stopni). Ponieważ te proste nie mają punktów wspólnych, to nie przecinają się pod żadnym kątem.

[Srodus]

no ale może chyba istniec sytuacja że one się nie przecinają ale sa pod kątem prostym wzajemnie położone

[Crizz]

Może, ale zrozum, to nie jest żaden osobny przypadek. Jeśli badamy wzajemne położenie prostych w przestrzeni, to interesują nas trzy możliwości:
-równoległość
-zwichrowanie
-przecinanie się
(ew. pokrywanie się, co można podciągnąć pod pierwszy lub trzeci przypadek)

Jeśli już tak bardzo zależy ci na prostopadłości to tak, są prostopadłe, bo iloczyn skalarny ich wektorów kierunkowych wynosi \(\displaystyle{ 0 \cdot 1+ 0\cdot(-9)+1 \cdot 0=0}\)
(jak dla mnie znajomość kąta między skośnymi prostymi nic nie wnosi).

[Srodus]

Wiem wiem ale mnie zaciekawiła ta prostopadłośc, sorry że tak męcze i dzięki za wyjaśnienie