wyznaczyć równanie płaszczyzny

[johanneskate]

zawierającej \(\displaystyle{ L: \begin{cases} x+y+z=0 \\ 2x+z-3=0 \end{cases}}\)i równoległej do prostej:\(\displaystyle{ K: \frac{x}{1} =\frac{y}{-2} =\frac{z}{2}}\)

[Crizz]

Z równania prostej L, odczytujesz wektory normalne podanych w tym równaniu płaszczyzn i liczysz ich iloczyn wektorowy:
\(\displaystyle{ [1,1,1] \times [2,1,-3] = [-4,5,-1]}\)
Ten iloczyn wektorowy jest jednocześnie wektorem kierunkowym prostej L.

Z równania prostej K odczytujesz współrzędne jej wektora kierunkowego: \(\displaystyle{ [1,-2,2]}\).

Szukana płaszczyzna ma być równoległa do prostej K i ma zawierać prostą L; z obu tych warunków wynika, że wektor normalny tej płaszczyzny ma być jednocześnie prostopadły do obu tych prostych (czyli także do wektorów kierunkowych obu prostych). Dlatego możesz wyliczyć wektor normalny płaszczyzny jako iloczyn wektorowy wektorów kierunkowych prostych L i K:
\(\displaystyle{ [-4,5,-1] \times [1,-2,2] = [8,7,3]}\)

Równanie szukanej płaszczyzny ma zatem postać \(\displaystyle{ 8(x-x_{0})+7(y-y_{0})+3(z-z_{0})=0}\).
Taka postać równania gwarantuje, że podana płaszczyzna jest równoległa do K i L, trzeba jeszcze spełnić warunek zawierania przez nią prostej L. W tym celu wystarczy za \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0},z_{0})}\) podstawić dowolny punkt prostej L (np. \(\displaystyle{ (1,-2,1)}\)):
\(\displaystyle{ 8(x-1)+7(y+2)+3(z-1)=0}\)
Ostatczenie, \(\displaystyle{ 8x+7y+3z+3=0}\) jest równaniem szukanej płaszczyzny (sprawdź jeszcze obliczenia).

[johanneskate]

no na początku wdarł się chyba błąd już.. z wyliczeniem drugiego wektora... (2,0,1) chyba być powinno:)

[Crizz]

Nie widzę błędu. Pokaż, jak wg Ciebie powinno być.

[johanneskate]

przeczytaj dokładnie drugie równanie prostej L... tam nie ma y...

[Crizz]

Fakt

Przepraszam. W każdym razie metoda jest dobra.

[johanneskate]

Tak, wiem, dziękuję serdecznie...