Znaleźć równanie okręgu przechodzącego przez punkt (0,0) i stycznego do prostych \(\displaystyle{ x+2y+9=0; 2x-y-2=0}\)
Zależy mi szczególnie na algorytmie rozwiązania tego zadania Dzięki z góry
Znaleźć równanie okręgu ...
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Znaleźć równanie okręgu ...
Równania dwusiecznych kątów między danymi prostymi można zapisać w postaci:
\(\displaystyle{ x-3y-11=0, 3x+y+7=0}\)
Po stworzeniu stosownego rysunku widać, że środki szukanych okręgów ( bo po naszkicowaniu danych prostych, zauważysz, że można stworzyć dwa takie okręgi spełniające warunki zadania) muszą leżeć na dwusiecznej \(\displaystyle{ 3x+y+7=0}\). Odległości szuaknych środków \(\displaystyle{ S(a,b)}\) od początku układu i od danych prostych muszą być jednakowe, co da się zapisać równaniem:
\(\displaystyle{ \frac{|a+2b+9|}{\sqrt{5} }=\sqrt{a^2+b^2}}\)
Mamy więc układ równań:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array} \frac{|a+2b+9|}{\sqrt{5} }=\sqrt{a^2+b^2} \\ 3a+b+7=0 \end{array}}\)
Otrzymujemy dwa rozwiązania:
\(\displaystyle{ a_{1}=-2,b_{1}=-1; a_{2}=-\frac{22}{5}, b_{2}=\frac{31}{5}}\)
Są to dwa środki szukanych okręgów. Obliczamy, że:
\(\displaystyle{ r_{1}^2=a_{1}^2 +b_{1}^2=5; r_{2}^2=a_{2}^2+b_{2}^2=\frac{289}{5}}\)
Stąd otrzymujemy szukane równania okręgów:
\(\displaystyle{ (x+2)^2+(y+1)^2=5, (x+\frac{22}{5})^2+(y-\frac{31}{5})^2=\frac{289}{5}}\)
\(\displaystyle{ x-3y-11=0, 3x+y+7=0}\)
Po stworzeniu stosownego rysunku widać, że środki szukanych okręgów ( bo po naszkicowaniu danych prostych, zauważysz, że można stworzyć dwa takie okręgi spełniające warunki zadania) muszą leżeć na dwusiecznej \(\displaystyle{ 3x+y+7=0}\). Odległości szuaknych środków \(\displaystyle{ S(a,b)}\) od początku układu i od danych prostych muszą być jednakowe, co da się zapisać równaniem:
\(\displaystyle{ \frac{|a+2b+9|}{\sqrt{5} }=\sqrt{a^2+b^2}}\)
Mamy więc układ równań:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array} \frac{|a+2b+9|}{\sqrt{5} }=\sqrt{a^2+b^2} \\ 3a+b+7=0 \end{array}}\)
Otrzymujemy dwa rozwiązania:
\(\displaystyle{ a_{1}=-2,b_{1}=-1; a_{2}=-\frac{22}{5}, b_{2}=\frac{31}{5}}\)
Są to dwa środki szukanych okręgów. Obliczamy, że:
\(\displaystyle{ r_{1}^2=a_{1}^2 +b_{1}^2=5; r_{2}^2=a_{2}^2+b_{2}^2=\frac{289}{5}}\)
Stąd otrzymujemy szukane równania okręgów:
\(\displaystyle{ (x+2)^2+(y+1)^2=5, (x+\frac{22}{5})^2+(y-\frac{31}{5})^2=\frac{289}{5}}\)