wyznaczyć równanie okręgu

[tomi140]

Środek okręgu leży na prostej \(\displaystyle{ x=1}\). Napisz równanie tego okręgu, jeśli wiadomo, że każda prosta \(\displaystyle{ y= \frac{1}{2}x+b}\) dla \(\displaystyle{ b \in {-6,9}}\) ma z tym okręgiem jeden pkt wspólny.

[Crizz]

Jesteś pewien, że tak brzmiało to zadanie? Opisana sytuacja wydaje mi się niemożliwa.

[tomi140]

teraz jest ok

[Crizz]

Po pierwsze, skoro te dwie proste sa styczne do okręgu, to ich odległość jest równa średnicy:

Równania podanych prostych:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x-y-6=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x-y+9=0}\)

Wzór na odległość dwóch prostych równoległych \(\displaystyle{ Ax+By+C=0,Ax+By+C'=0}\):
\(\displaystyle{ d=\frac{|C-C'|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}}\)
W tym wypadku \(\displaystyle{ d=\frac{|15|}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}=6\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ r=3\sqrt{5}}\)

Równanie okręgu ma zatem postać \(\displaystyle{ (x-1)^{2}+(y-k)^{2}=45}\)

Środek okręgu musi leżeć na prostej równoodległej od podanych prostych, tzn. na prostej \(\displaystyle{ \frac{1}{2}x-y+\frac{-6+9}{2}=0}\)

Z układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{1}{2}x-y+\frac{3}{2}=0 \\ x=1 \end{cases}}\)
otrzymujesz współrzędne środka okręgu: \(\displaystyle{ S=(1,2)}\).

Ostatecznie, \(\displaystyle{ (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=45}\) jest szukanym równaniem okręgu.