Witam
Przygotowywując się na sesję zabrałem się za poniższe zadanka, bardzo proszę o sprawdzenie poprawności moich rozwiązań.
4. \(\displaystyle{ A= \left( 3,1,2\right)
\ B= \left(1,0,-1 \right)
\ C= \left( 4,7,8\right)
\ D= \left( 4,2,3\right)}\)
a) Znajdź pojemność czworościanu ABCD i jego wysokość przechodzącą przez wierzchołek D.
b) Znajdź kąt pomiędzy ścianami BCD i CDA.
5. Dla punktu \(\displaystyle{ P= \left(-5,1,7 \right)}\) znajdź jego rzut ortogonalny \(\displaystyle{ P^{'}}\) oraz \(\displaystyle{ P^{''}}\) symetryczny do \(\displaystyle{ P}\) w odniesieniu do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi=4x+y-2z-9=0}\)
Moje propozycje rozwiązań:
4.
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{2}S_0\cdot\frac{1}{3}h_0=\frac{1}{6}\cdot S_0 \cdot h_0 \\ \\
\vec{AC}= \left[ 1,6,6\right] \ \vec{AB}= \left[ -2,-1,-3\right] \\
\vec{AB} \times \vec{AC}=\begin{vmatrix} i&j&k\\-2&-1&-3\\1&6&6\end{vmatrix}= \\
=\vec{i}\begin{vmatrix}-1&-3\\6&6\end{vmatrix},\vec{-j}\begin{vmatrix}-2&-3\\1&6\end{vmatrix},\vec{k}\begin{vmatrix}-2&-1\\1&6\end{vmatrix}=\vec{i}12,\vec{j} \left( -9\right),\vec{k} \left( -11\right) \\
\left|\vec{AB} \times \vec{AC} \right|=\sqrt{144+81+121}=\sqrt{346}\\
\\
\begin{vmatrix}-2&-1&-3\\1&6&6\\1&1&1\end{vmatrix}=-12-6-3+18+12+1=10\\
V=10\\
h=\frac{6V}{S_0}\\
h=\frac{6\cdot 10}{\sqrt{346}}=\frac{60}{\sqrt{346}}\\
\\
\vec{u}=\vec{AC} \times \vec{AD} \qquad \vec{u}\perp ACD\\
\vec{k}=\vec{CD} \times \vec{CB} \qquad \vec{k} \perp CDB\\
\\
\vec{u}=\begin{vmatrix}i&j&k\\1&6&6\\1&1&1\end{vmatrix}=\vec{i}0,\vec{-j} \left( -5\right),\vec{k} \left( -5\right)= \left[0,-5,-5 \right] \\
\vec{k}=\begin{vmatrix}i&j&k\\0&-5&-5\\3&7&9\end{vmatrix}=\vec{i} \left(-10 \right),\vec{-j}15,\vec{k}15= \left[ -10,-15,15\right] \\
\alpha \left( \vec{u},\vec{k}\right) \\
\cos \alpha=\frac{\vec{u} \cdot \vec{k}}{ \left| \vec{u} \right| \cdot \left| \vec{k} \right|} \\
\cos \alpha=\frac{0-75-75}{\sqrt{100+225+225} \cdot sqrt{0+25+25}}=\frac{-150}{\sqrt{30500}}\\}\)
5.
\(\displaystyle{ P= \left( -5,1,7\right) \\
\pi : 4x+y-2z-9=0\\
\vec{N}= \left[4,1,-2 \right] \\
l=P\cap\pi \\
\\
\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_0\\y_0\\z_0\end{bmatrix}+\alpha\begin{bmatrix}N_1\\N_2\\N_3\end{bmatrix} \\
\\
\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-5\\1\\7\end{bmatrix}+\alpha\begin{bmatrix}4\\1\\-2\end{bmatrix} \\
\\
\begin{cases}x=-5+4\alpha\\y=1+\alpha\\z=7-2\alpha\end{cases} \\
\\
\pi: \ Ax+By+Cz+D=0\\
4\left(-5+4\alpha\right)+\left(1+\alpha \right)+2 \left(7-2\alpha \right) -9=0\\
-20-16\alpha+1+\alpha+14-4\alpha-9=0\\
-14=-19\alpha\\
\alpha=\frac{14}{19}\\
\\
\begin{cases}x=-5+\frac{56}{19}\\y=1+\frac{14}{19}\\z=7-\frac{28}{19}\end{cases}\\
\\
P^{'}= \left(-\frac{39}{19},\frac{33}{19},\frac{105}{19} \right)
\\
\left( -\frac{39}{19},\frac{33}{19},\frac{105}{19}\right) = \left(\frac{-5+x_2}{2},\frac{1+y_2}{2},\frac{7+z_2}{2} \right) \\
\\
\begin{cases}x_2=2 \cdot \frac{-39}{19}+5\\y_2=2 \cdot \frac{33}{19}-1\\z_2=2 \cdot \frac{105}{19}-7\end{cases}\\
\\
}P^{''}= \left(\frac{17}{19},\frac{47}{19},\frac{77}{19} \right) \\}\)
wyniki powychodziły trochę dziwne więc bardzo bym prosił by ktoś sprawdził moje obliczenia
pozdrawiam
-- 29 stycznia 2010, 12:59 --
dzieki za 'pomoc', juz sobie sam poradzilem...