Wyznaczanie stycznych do elipsy - prosiłabym o wskazówki

[annx]

Wyznaczyć proste styczne do elipsy danej wzorem \(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{9}=1}\) i równoległe do prostej \(\displaystyle{ y=x.}\)

[tometomek91]

Skoro mają byc równoległe, to są postaci \(\displaystyle{ y=x+b}\).
Podstawiamy do równania elipsy:
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9}=1\\
\frac{x^{2}}{4} + \frac{(x+b)^{2}}{9}=1}\)
Teraz pozostało odpowiedzieć na pytanie dla jakich wartości parametru b w/w równanie ma jedno rozwiązanie.

Lub
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9}=1}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{\sqrt{36-9x^{2}}}{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ |x|<2}\).
Liczymy jej pochodną:
\(\displaystyle{ y'= \frac{4 \sqrt{36-9x^{2}} }{36-9x^{2}}}\)
Równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie (\(\displaystyle{ x_{0};f(x_{0})}\)):
\(\displaystyle{ y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0})}\)
Podstawiamy do wzoru:
\(\displaystyle{ y-\frac{\sqrt{36-9x_{0}^{2}}}{2}=\frac{4\sqrt{36-9x_{0}^{2}}}{36-9x_{0}^{2}}(x-x_{0})\\
y=\frac{4\sqrt{36-9x_{0}^{2}}}{36-9x_{0}^{2}}x-\frac{4x_{0} \sqrt{36-9x_{0}^{2}}}{36-9x_{0}^{2}}+\frac{\sqrt{36-9x_{0}^{2}}}{2}}\)
Współczynnik a musi być równy jeden, stąd wyliczymy współczynnik b.

[annx]

Czy oby na pewno? Wydaje mi się, że rozwiązania powinny być dwa, tzn. że będą dwie styczne ; >

[tometomek91]

Tak annx, na pewno musi mieć jedno rozwiązanie, bo wtedy oba wykresy (elipsy i prostej) będą stykać się w jednym punkcie, tzn beda styczne. Gdyby miało dwa rozwiązania, prosta i elipsa przecinałyby się w dwóch punktach. Owszem, będą dwie takie proste.

[Dudas]

Z tego co wyliczyłem wyjdą styczne :

\(\displaystyle{ y = x +\frac {5}{\sqrt{13}}}\)
oraz
\(\displaystyle{ y = x - \frac {5}{\sqrt{13}}}\)

A liczyłem drugim sposobem zaprezentowanym przez tometomek91, wyliczając pochodną, przyrównując do jedynki i podstawiając zależność \(\displaystyle{ y_0(x_0)}\) do równania elipsy

[annx]

Styczne powinny mieć równanie \(\displaystyle{ y=x- \sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ y=x+ \sqrt{2}.}\) I ta odp. na pewno jest ok, tylko niestety żadnym sposobem taki wynik mi nie wychodzi.

[masterpiece]

Proponowałbym sprawdzić ten wynik przez podstawienie \(\displaystyle{ y=x- \sqrt{2}}\) oraz \(\displaystyle{ y=x+ \sqrt{2}}\) do równania elipsy.
Wychodzi sprzeczność, bo aby prosta miała 1 punkt wspólny z elipsą (czyli była styczna) to wyróżnik równania kwadratowego powinien być równy 0.
\(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{4} + \frac{(x+ \sqrt{2} ) ^{2} }{9} =1}\)
\(\displaystyle{ 9x ^{2} +4 \left( x+ \sqrt{2} \right) ^{2} =36}\)
\(\displaystyle{ 13x ^{2} } +8 \sqrt{2} x-28=0}\)
Obliczamy Deltę
\(\displaystyle{ \Delta=b ^{2} -4ac=128+112 \cdot 13=1584 \neq 0}\)
Czyli mamy sprzeczność