Przekształcenia geometryczne w geometrii analitycznej -zadan

[Vicol]

Na początku, jako że jestem nowy na forum, chciałbym sie z Wami przywitac ^^

Po feriach, mam klasówkę z rodziału, widocznego w tytule. Robiąc zadania, wystąpiły problemy, najczęściej obliczeniowe, po prostu- zatrzymywałem się bo nie wiedziałem co robić. Proszę was o pomoc w tych zadaniach:


1. Zbadaj czy podane przekształcenie P płaszczyzny jest izometrią gdy x,y należy do R.

a) P((x,y)) = (-y,-x)

Wiem jak to zrobić, tylko się zastanawiam czy to, że -y stoi przed -x ma jakieś znaczenie? Zawsze robiłem tak, że po pewnym czasie je odwracałem. Można tak zrobić??

2. Czy sitnieje taka liczba rzeczywista k, by przekształcenie P określone poniżej było izometrią? Jeśli tak, to podaj wszystkie takie liczby k.

a) P=((x,y)) = (\(\displaystyle{ \frac{1}{k-1} y,- \frac{1}{k-1} x}\) )

I nie wiem jak to zrobic.... Troche próbowałem i wszysło mi że:

A=(x,y) B=\(\displaystyle{ (x _{1} ,y _{1} )}\)

A'= \(\displaystyle{ ( \frac{1}{k-1}y, - \frac{1}{k-1}x )}\) B'= \(\displaystyle{ ( \frac{1}{k-1}y _{1} , - \frac{1}{k-1}x _{1} )}\)

Jeśli to przekształcenie jest izometria to : |AB|=|A'B'|

I ze wzoru na długość boków wychodzi mi takie cos :

\(\displaystyle{ \sqrt{ {(x _{1} - x)}^{2} + {(y _{1} - y) } ^{1} } = \sqrt{( \frac{y _{1} }{k-1} - \frac{y}{k-1}) ^{2} + (- \frac{x _{1} }{k-1} + \frac{x}{k-1} ) ^{2}}}\)


Jeszcze raz: prosze o pomoc, jakies wskazówki czy coś

[Crizz]

Drugie bardzo dobrze, dalej to będzie
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{k-1}\right)^{2} \cdot ((x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2})}}\)
(wyciągasz \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{k-1}\right)^{2}}\) przed nawias w obu wyrażeniach w nawiasie pod pierwiastkiem)
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}} = |\frac{1}{k-1}| \cdot \sqrt{(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}}\)

(bo \(\displaystyle{ \sqrt{a^{2}}=|a|}\) dla dowolnego a)
Jeśli \(\displaystyle{ A=B}\), to wtedy wartości tych pierwiasktów po obu stronach są zerami i równość jest spełniona; jednak ta równość ma być spełniona również wtedy, gdy \(\displaystyle{ A \neq B}\), a w takim przypadku mozemy obie strony równości podzielić przez \(\displaystyle{ \sqrt{(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}}\) i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ |\frac{1}{k-1}|=1}\)

Rozwiązujesz to równanie i dostajesz \(\displaystyle{ k=2 \vee k=0}\).

Co do pierwszego, to mógłbyś wyjaśnić, o co chodzi z tym odwracaniem? Bo mógłbyś rozwiązać to zadanie tą samą metodą.

[Vicol]

Kurcze, w matematyce to jednak warto być spostrzegawczym xD Jakoś nie wpadłem na pomysł z tym wyłączeniem przed nawias. Mniejsza o to z reszta

Teraz znowu wzialem zadanie o treści identycznej z zadaniem 2, które podałem. I znowu sie zaciąłem. Jednocześnie na tym przykładzie wytłumacze o co mi chodziło z tym odwrcaniem:




P=((x,y))=(y+k, kx) : znajdź k

Ja robiłem to tak:

\(\displaystyle{ A=(x, y) B=(x _{1}, y _{1})

A'=(y+k, kx) B'= (y _{1}+k, kx _{1})}\)

\(\displaystyle{ |AB|=|A'B'|

\sqrt{(x _{1}-x)^{2} + (y _{1}-y)^{2}} = \sqrt{([y _{1}+k]-[y+k])^{2}+(kx _{1}-kx)^{2}}}\)

I teraz na moment stop. Zauważmy, że przy podawaniu współrzędnych A, to x stał przed y (x,y), a przy współrzędnych A' najpierw był y (y+k, kx). Tak samo jest z B i B'. I zadałem pytanie czy to ma jakieś znaczenie. Ja sobie to tłumacze tak, że: po przekształceniu P, pierwsza współrzędna punktu A (czyli x) przyjmuje wartość y+k. Dobrze rozumuje?
Wytłumaczę o co chodziło mi z tym odwracaniem, a mianowicie (y-x)+(w-v) = (w-v)+(y-x), no tak? ^^ I żadnej pomyłki nie będzie, prawda?

Nie wiem jak dalej ruszyć zadania, wydaje mi się że z nawiasu:

\(\displaystyle{ (kx _{1} -kx) ^{2}}\) trzeba wyciągnąc przed nawias k, czyli wyjdzie

\(\displaystyle{ \sqrt{(x _{1}-x)^{2} + (y _{1}-y)^{2}} = \sqrt{([y _{1}+k]-[y+k])^{2}+k^{2}(x_{1}-x)^{2}}\)


Znowu stop. Jedno pytanie.\(\displaystyle{ (kx _{1} -kx) ^{2} = k^{2}(x_{1}-x)^{2}}\) Chodzi mi dokładnie o to, czy po wyłączeniu przed nawias k, potega druga idzie zanim?



Ufff... jakoś to wszystko napisałem.

[Crizz]

Ja sobie to tłumacze tak, że: po przekształceniu P, pierwsza współrzędna punktu A (czyli x) przyjmuje wartość y+k. Dobrze rozumuje?

Tak, właśnie to oznacza ten zapis.

(y-x)+(w-v) = (w-v)+(y-x), no tak? ^^ I żadnej pomyłki nie będzie, prawda?

Oczywiście, że nie będzie. Dodawanie jest przemienne.

\(\displaystyle{ (kx _{1} -kx) ^{2} = k^{2}(x_{1}-x)^{2}}\) Chodzi mi dokładnie o to, czy po wyłączeniu przed nawias k, potega druga idzie zanim?

\(\displaystyle{ (kx _{1} -kx) ^{2} =(k(x_{1}-x))^{2}=k^{2} \cdot (x_{1}-x)^{2}}\), czyli idzie za nim.

[Vicol]

hmmm... pytanko: \(\displaystyle{ czy (x _{1} -x)^{2} = (-x _{1} -x) ^{2}}\) ?? I dlaczego?

PS. Podrzucicie jakiś pomysł do tego zadania co napisałem w ostatnim poście?

[Crizz]

Nie. \(\displaystyle{ (-x _{1} -x) ^{2}=(-(x+x_{1}))^{2}=(-1)^{2}(x+x_{1})^{2}=(x+x_{1})^{2} \neq (x-x_{1})^{2}}\)

-- 25 stycznia 2010, 22:39 --

A co do zadanka, k w pierwszym nawiasie po prawej stronie się skracają i zostaje:
\(\displaystyle{ \sqrt{(x _{1}-x)^{2} + (y _{1}-y)^{2}} = \sqrt{(y _{1}-y)^{2}+k^{2}(x_{1}-x)^{2}}}\)

Nic tu niestety się nie da wyłączyć, musisz podnieść obie strony do kwadratu i maksymalnie poskracać:
\(\displaystyle{ (x _{1}-x)^{2} + (y _{1}-y)^{2}=(y _{1}-y)^{2}+k^{2}(x_{1}-x)^{2}}\)
Od obu stron odejmujesz \(\displaystyle{ (y_{1}-y)^{2}}\), zostaje:
\(\displaystyle{ (x_{1}-x)^{2}=k^{2}(x_{1}-x)^{2}}\)
Jeśli punkty \(\displaystyle{ A,B}\) mają tę samą pierwszą współrzędną, to ta równośc jest spełniona \(\displaystyle{ (0=0)}\), my jednak chcemy, by ta równość była spełniona także wtedy, gdy ich pierwsze współrzędne są różne (wtedy \(\displaystyle{ x \neq x_{1},x-x_{1} \neq 0}\), czyli \(\displaystyle{ (x-x_{1})^{2} \neq 0}\) i możemy podzielić obie strony równości przez \(\displaystyle{ (x-x_{1})^{2}}\)):
\(\displaystyle{ 1=k^{2}}\)
\(\displaystyle{ k=1 \vee k=-1}\)


(może mała podpowiedź, jak możesz sprawdzić poprawność rozwiązania takich przykładów: ten wynik "na oko" jest ok - żeby przekształcenie było izometrią, a we wzorze na współrzędne obrazu jakas współrzędna jest pomnożona przez k, to k musi być równe 1 albo -1 - przekształcenia, w których jakas współrzędna byłaby pomnożona przez liczbę różną od jedynki, na ogół zmieniają długości odcinków).

[Vicol]

Kurcze. To powiedz mi jakim cudem w zadaniu:

Czy przekształcenie P jest izometrią?

P((x,y))=(-y,-x)

Podam teraz obliczenia ktore zrobilem

\(\displaystyle{ |AB|= \sqrt{(x _{1}-x)^{2}+(y _{1}-y)^{2}}

|A'B'|= \sqrt{(-y_{1}+y)^{2} + (-x _{1}+x) ^{2} }

I w odpowiedzach jest napisane ze to jest izometria?}\)

[Crizz]

Nie o to pytałeś. Spójrz na swój post jeszcze raz.

A tu wystarczy skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ a^{2}=(-a)^{2}}\), czyli np. \(\displaystyle{ (-x+x_{1})^{2}=(x-x_{1})^{2}}\) i wzór na \(\displaystyle{ |A'B'|}\) staje się taki sam, jak na \(\displaystyle{ |AB|}\).

Widać, ze to izometria, bo współrzędne są tylko pomnożone przez -1 i zamienione miejscami, żadna nie jest pomnożona przez liczbę różną od 1 albo -1 (oczywiście trzeba to udowodnić, ale łatwo przewidzieć, "co wyjdzie").

[Vicol]

Czyli ładnie reasumując:

Gdy przekształcenie P przekształca płaszczyznę w ten sposób, że zmienia się lub pozostaje taki sam znak przed oboma współrzędnymi, to P zawsze jest izometria ^^

[Crizz]

hmm... może tak (żeby nie było wątpliwości):

Przekształcenie \(\displaystyle{ (x,y) \rightarrow ( \pm x+a, \pm y+b)}\) jest izometrią.
Przekształcenie \(\displaystyle{ (x,y) \rightarrow ( \pm y+a, \pm x+b)}\) jest izometrią.

(\(\displaystyle{ a,b}\) są dowolnymi liczbami, mogą być zerami).

O przekształceniu \(\displaystyle{ (x,y) \rightarrow (2x,y)}\) na oko można powiedzieć, że nie jest izometrią, ale trzeba to sprawdzić.

Krótko mówiąc, jak dostaniesz np zadanie "sprawdź, czy \(\displaystyle{ (x,y) \rightarrow (3x,y)}\) jest izometrią", to nie próbuj udowadniać, że jest, tylko od razu staraj się udowodnić, że nie jest. A udowanianie, ze nie jest, jest bardzo proste: bierzesz dwa dowolne punkty A.B, znajdujesz ich obrazy A',B', liczysz |AB| i |A'B'|, wyjdą różne (jeśli nie miałeś pecha i nie wybrałeś jakichś specyficznych punktów). Wniosek: przekształcenie nie jest izometrią, bo np. nie zachowuje długości odcinka AB.

[Vicol]

Boje sie tylko zadań, jak:

2. Czy sitnieje taka liczba rzeczywista k, by przekształcenie P określone poniżej było izometrią? Jeśli tak, to podaj wszystkie takie liczby k.

Nie pewnie sie w nich czuje, ale przynajmniej wiem już, że coś praktycznie zawsze sie skróci ^^

I tak w ogóle- piwo dla crizza ^^Wielkie dzięki-- 28 sty 2010, o 21:30 --No i niestety dalej mamy problemy, jednak z innym rodzajem zadań

1. Dana jest prosta k: y=2x-3. Znajdź równanie prostej m będącej obrazem prostej k.

a) T=[0,3]

No i niby wszystko wiem, tylko jest niepewność. W translacji prostej zawsze powstaje do niej prosta równoległa, prawda? Jeśli tak, to bede potrafił rozwiązać to zadanie.

2. Prosta m: y=3x+2 jest obrazem prostej k: y=3x-1 w pewnym przesunięciu równoległym. Podaj przykłąd wektora przesunięcia.

I tutaj jest problem. Bo za bardzo nie wiem jak to zrobić. Wydawało mi się że trzeba wybrać dwa punkty (jeden z prostej m, jeden z prostej k), tak aby spełniały one równanie prostych. A potem użyć wzoru na translacje i go przekształcić:\(\displaystyle{ A=(x,y) A'=(x _{1},y _{1})
T=[m,n]
x _{1}=x+m
y _{1}=y+n}\)

Dobrze myślę??