Witam, musze umieć tego typu zadania na koło z matmy :/ Pomoże ktoś? Rozwiazanie z objasnieniem...
Zadanie 1: Wyznaczyć punkt P' symetryczny do punktu P(2,3,-1) względem płaszczyzny pi: 2x-y+z-6=0
Z góry dziekuje!
Wyznaczyć punkt P' symetryczny....
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Wyznaczyć punkt P' symetryczny....
\(\displaystyle{ \pi: 2x-y+z-6=0}\)
\(\displaystyle{ P=(2,3,-1)}\)
Najpierw znajdujesz równanie prostej prostopadłej do płaszczyzny, przechodzącej przez P.
W tym celu z równania płaszczyzny odczytujesz wektor normalny do danej płaszczyzny: wektorem normalnym do płaszczyzny \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) jest wektor \(\displaystyle{ [A,B,C]}\) i skoro szukamy prostej prostopadłej do płaszzczyzny, to ten wektor będzie wektorem kierunkowym szukanej prostej.
W tym zadaniu \(\displaystyle{ [2,-1,1]}\) jest wektorem normalnym płaszczyzny, zatem równanie szukanej prostej ma postać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2t+x_{0} \\ y=-t+y_{0} \\z=t+z_{0} \end{cases}}\)
Za \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0},z_{0})}\) podstawiasz jedyny znany punkt szukanej prostej, czyli punkt P; ostatecznie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2t+2 \\ y=-t+3 \\z=t-1 \end{cases}}\)
Teraz znajdujesz punkt wspólny A tej prostej i płaszczyzny:
\(\displaystyle{ 2x-y+z-6=0}\)
\(\displaystyle{ 2(2t+2)-(-t+3)+(t-1)-6=0}\)
\(\displaystyle{ t=1 \Rightarrow A=(2 \cdot 1+2,-1+3,1-1)=(4,2,0)}\)
Z definicji symetrii osiowej wynika, że punkt symetryczny do P względem \(\displaystyle{ \pi}\) możesz znaleźć jako taki punkt \(\displaystyle{ P'}\), ze \(\displaystyle{ \vec{AP}=\vec{P'A}}\).
\(\displaystyle{ \vec{AP}=[2-4,3-2,-1-0]=[-2,1,-1]}\)
\(\displaystyle{ \vec{P'A}=[-2,1,-1]}\)
\(\displaystyle{ [4-x,2-y,0-z]=[-2,1,-1]}\)
Stąd \(\displaystyle{ P'=(6,1,1)}\)
\(\displaystyle{ P=(2,3,-1)}\)
Najpierw znajdujesz równanie prostej prostopadłej do płaszczyzny, przechodzącej przez P.
W tym celu z równania płaszczyzny odczytujesz wektor normalny do danej płaszczyzny: wektorem normalnym do płaszczyzny \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) jest wektor \(\displaystyle{ [A,B,C]}\) i skoro szukamy prostej prostopadłej do płaszzczyzny, to ten wektor będzie wektorem kierunkowym szukanej prostej.
W tym zadaniu \(\displaystyle{ [2,-1,1]}\) jest wektorem normalnym płaszczyzny, zatem równanie szukanej prostej ma postać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2t+x_{0} \\ y=-t+y_{0} \\z=t+z_{0} \end{cases}}\)
Za \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0},z_{0})}\) podstawiasz jedyny znany punkt szukanej prostej, czyli punkt P; ostatecznie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2t+2 \\ y=-t+3 \\z=t-1 \end{cases}}\)
Teraz znajdujesz punkt wspólny A tej prostej i płaszczyzny:
\(\displaystyle{ 2x-y+z-6=0}\)
\(\displaystyle{ 2(2t+2)-(-t+3)+(t-1)-6=0}\)
\(\displaystyle{ t=1 \Rightarrow A=(2 \cdot 1+2,-1+3,1-1)=(4,2,0)}\)
Z definicji symetrii osiowej wynika, że punkt symetryczny do P względem \(\displaystyle{ \pi}\) możesz znaleźć jako taki punkt \(\displaystyle{ P'}\), ze \(\displaystyle{ \vec{AP}=\vec{P'A}}\).
\(\displaystyle{ \vec{AP}=[2-4,3-2,-1-0]=[-2,1,-1]}\)
\(\displaystyle{ \vec{P'A}=[-2,1,-1]}\)
\(\displaystyle{ [4-x,2-y,0-z]=[-2,1,-1]}\)
Stąd \(\displaystyle{ P'=(6,1,1)}\)
Wyznaczyć punkt P' symetryczny....
Wielkie dzięki, miałem podobne zadanie na kole i dostalem jakiegos oswiecenia i zrobilem je