Wzajemne położenie dwóch okręgów i prostej. Symetria.

[adm.kowal]

Już prawie skończyłem to zadanie ale brakuje mi pomysłu do ostatniego z działań. Polecenie brzmi: Napisz równanie okręgu, symetrycznego do okręgu \(\displaystyle{ o_{1}: x^{2} + y^{2} + 6x - 2y - 15 = 0}\) względem prostej \(\displaystyle{ k: x-3y - 4=0}\)

No i sprowadzam do postaci kanonicznej okrąg 1. \(\displaystyle{ (x+3)^{2}+(y-1)^{2}=25}\) stąd \(\displaystyle{ S_{1} = (-3;1) i r = 5}\)

Korzystam ze wzoru na odległość punktu od prostej. \(\displaystyle{ d(S_{1};k) = \frac{|-1-3-4| }{ \sqrt{1^{2} + 3^{2}} } = \frac{10}{ \sqrt{10} } = \sqrt{10}}\)

Teraz pomyślałem że przydała by się prosta pomocnicza m która byłaby prostopadła do \(\displaystyle{ y= \frac{x}{3} - \frac{4}{3}}\)
korzystając z definicji prostych prostopadłych i współrzędnych \(\displaystyle{ S_{1}}\) czyli \(\displaystyle{ y=-3x}\)
I brakuje mi już pomysłu na koniec ;]

Dziękuje za pomoc

[piasek101]

Prosta prostopadła do osi idąca przez środek okręgu przecina oś na środku odcinka \(\displaystyle{ S_1S_2}\).
Mając jeden koniec odcinka i środek wyznaczasz drugi koniec.

[adm.kowal]

Ale w jaki sposób? Obliczę długość i jak to przerzucić na drugą stronę?

[piasek101]

Ze wzoru na współrzędne środka odcinka o danych końcach - poszukaj go.

[adm.kowal]

Nie miałem takiego wzoru jeszcze. Mógłbyś mi napisać z jakiego wzoru miałbym skorzystać? Przecież nie proszę o gotowy wynik, całe zadanie do tego momentu zrobiłem sam i czegoś mi brakowało. Czegoś czego nie mam. Więc jak mam znaleźć coś czego nie mam. Proszę o pomoc.

[piasek101]

\(\displaystyle{ x_S=0,5(x_A+x_B)}\) oraz \(\displaystyle{ y_S=0,5(y_A+y_B)}\) (gdzie S,A,B - środek, końce)

Ps. google wypluło od razu :