Dowód. Położenie okręgu.

[adm.kowal]

Mam takie zadanie do rozwiązania. Udowodnij, że równanie \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} - ax +2by - 0,75a^{2} + 2ab =0}\) opisuje okrąg dla dowolnych, różnych liczb rzeczywistych a i b. Podaj współrzędne środka i długość promienia okręgu. Prawdę mówiąc nie wiem kompletnie cóż tu ma być za teza, założenie... Bardzo proszę o wskazówki.

[Poodzian]

Trzeba zauważyć, że niewiadome igrekowa i iksowa pojawiają się w dwóch miejscach wyrażenia, co pozornie przeczy postaci równania okręgu. Należy spróbować jednak doprowadzić je do tej postaci

I taki myk:
Weźmy składniki z niewiadomą \(\displaystyle{ y}\): \(\displaystyle{ y^2+2by}\)
Aby igrek pojawił się tylko raz i jeszcze w wyrażeniu podniesionym do kwadratu, należy zastosować wzór skróconego mnożenia z pewnymi dodatkami:

\(\displaystyle{ y^2+2by+b^2-b^2}\)
I połączyć w całość, co trzeba: \(\displaystyle{ (y+b)^2-b^2}\)
Z tym wracamy do wyjściowego wyrażenia

\(\displaystyle{ x^2+(y+b)^2-b^2-ax-0,75a^2+2ab=0}\)
Podobnie rzecz się ma z iksami:
\(\displaystyle{ x^2-ax+(0,5a)^2-(0,5a)^2-0,75a^2+(y+b)^2-b^2+2ab=0}\)

\(\displaystyle{ (x-a)^2-0,25a^2-0,75a^2+(y+b)^2-b^2+2ab=0}\)
Ostatecznie: \(\displaystyle{ (x-a)^2+(y+b)^2=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2}\)

[adm.kowal]

Super, bardzo mi pomogłeś, dziękuję.

-- 24 sty 2010, o 17:57 --

Pytanie uzupełniające. Co to będzie za okrąg o postaci \(\displaystyle{ (a-b)^{2}}\). ?-- 24 sty 2010, o 17:58 --

Mam takie zadanie do rozwiązania. Udowodnij, że równanie \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} - ax +2by - 0,75a^{2} + 2ab =0}\) opisuje okrąg dla dowolnych, różnych liczb rzeczywistych a i b. Podaj współrzędne środka i długość promienia okręgu. Prawdę mówiąc nie wiem kompletnie cóż tu ma być za teza, założenie... Bardzo proszę o wskazówki.

Trzeba zauważyć, że niewiadome igrekowa i iksowa pojawiają się w dwóch miejscach wyrażenia, co pozornie przeczy postaci równania okręgu. Należy spróbować jednak doprowadzić je do tej postaci

I taki myk:
Weźmy składniki z niewiadomą \(\displaystyle{ y}\): \(\displaystyle{ y^2+2by}\)
Aby igrek pojawił się tylko raz i jeszcze w wyrażeniu podniesionym do kwadratu, należy zastosować wzór skróconego mnożenia z pewnymi dodatkami:

\(\displaystyle{ y^2+2by+b^2-b^2}\)
I połączyć w całość, co trzeba: \(\displaystyle{ (y+b)^2-b^2}\)
Z tym wracamy do wyjściowego wyrażenia

\(\displaystyle{ x^2+(y+b)^2-b^2-ax-0,75a^2+2ab=0}\)
Podobnie rzecz się ma z iksami:
\(\displaystyle{ x^2-ax+(0,5a)^2-(0,5a)^2-0,75a^2+(y+b)^2-b^2+2ab=0}\)

\(\displaystyle{ (x-a)^2-0,25a^2-0,75a^2+(y+b)^2-b^2+2ab=0}\)
Ostatecznie: \(\displaystyle{ (x-a)^2+(y+b)^2=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2}\)

Pytanie uzupełniające. Co to będzie za okrąg o postaci \(\displaystyle{ (a-b)^{2}}\) ?