Napisać równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkt A(2,3,1) i równo-
ległej do płaszczyzn o równaniach 6x-y +z-2 = 0 oraz x+3y-2z +1 = 0. Z góry dziękuje
napisać równanie parametryczne
-
Poodzian
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 11 paź 2007, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 62 razy
napisać równanie parametryczne
Dwie płaszczyzny przecinają się - powstaje prosta, z treści zadania równoległa do szukanej prostej
W tym celu należy znaleźć równanie prostej wyznaczonej przez te płaszczyzny - wystarczy wziąć dowolne dwa punkty na niej leżące
Niech zatem \(\displaystyle{ P_1(x_1, y_1, z_1)}\), a \(\displaystyle{ P_2(x_2, y_2, z_2)}\)
Jedną ze współrzędnych każdego z punktów przyjmujesz sobie dowolnie, niech \(\displaystyle{ x_1=0}\), a w drugim punkcie \(\displaystyle{ x_2=1}\)
Pozostają do rozwiązania układy równań:
Dla pierwszego punktu: \(\displaystyle{ \begin{cases} 6\cdot 0-y_1+z_1-2=0 \\ 0+3y_1-2z_1+1=0 \end{cases}}\), a dla drugiego: \(\displaystyle{ \begin{cases} 6\cdot 1-y_2+z_2-2=0 \\ 1+3y_2-2z_2+1=0 \end{cases}}\)
Przy tak wybranych punktach powinny wyjść ostatecznie: \(\displaystyle{ P_1(0, 3, 5)}\) oraz \(\displaystyle{ P_2(1, -10, -14)}\)
Łącząc je ze sobą wektorowo otrzymasz wektor kierunkowy prostej powstałej z przecięcia się tych płaszczyzn, a jednocześnie wektor kierunkowy wszystkich prostych równoległych do tej prostej. My szukamy jednej konkretnej, którą określa dodatkowo punkt w przestrzeni \(\displaystyle{ A(2, 3, 1)}\)
Zatem: \(\displaystyle{ \vec{v}=[1-0, -10-3, -14-5]=[1, -13, -19]}\)
Teraz tylko równanie kanoniczne: \(\displaystyle{ \frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{-13}=\frac{z-1}{-19}}\)
I przekształcenie do postaci parametrycznej
W tym celu należy znaleźć równanie prostej wyznaczonej przez te płaszczyzny - wystarczy wziąć dowolne dwa punkty na niej leżące
Niech zatem \(\displaystyle{ P_1(x_1, y_1, z_1)}\), a \(\displaystyle{ P_2(x_2, y_2, z_2)}\)
Jedną ze współrzędnych każdego z punktów przyjmujesz sobie dowolnie, niech \(\displaystyle{ x_1=0}\), a w drugim punkcie \(\displaystyle{ x_2=1}\)
Pozostają do rozwiązania układy równań:
Dla pierwszego punktu: \(\displaystyle{ \begin{cases} 6\cdot 0-y_1+z_1-2=0 \\ 0+3y_1-2z_1+1=0 \end{cases}}\), a dla drugiego: \(\displaystyle{ \begin{cases} 6\cdot 1-y_2+z_2-2=0 \\ 1+3y_2-2z_2+1=0 \end{cases}}\)
Przy tak wybranych punktach powinny wyjść ostatecznie: \(\displaystyle{ P_1(0, 3, 5)}\) oraz \(\displaystyle{ P_2(1, -10, -14)}\)
Łącząc je ze sobą wektorowo otrzymasz wektor kierunkowy prostej powstałej z przecięcia się tych płaszczyzn, a jednocześnie wektor kierunkowy wszystkich prostych równoległych do tej prostej. My szukamy jednej konkretnej, którą określa dodatkowo punkt w przestrzeni \(\displaystyle{ A(2, 3, 1)}\)
Zatem: \(\displaystyle{ \vec{v}=[1-0, -10-3, -14-5]=[1, -13, -19]}\)
Teraz tylko równanie kanoniczne: \(\displaystyle{ \frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{-13}=\frac{z-1}{-19}}\)
I przekształcenie do postaci parametrycznej