Witam
Dane są A=(2:3), B=(4:-1) i prosta 2x-y+3.
a)Znajdź taki punkt C na tej prostej aby AC=CB
b)Aby P \(\displaystyle{ _{abc}}\) =15
Pole trójkąta oraz odległość od prostej
-
Pancernik
- Użytkownik
- Posty: 634
- Rejestracja: 3 mar 2009, o 14:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 143 razy
Pole trójkąta oraz odległość od prostej
Odpowiedź do podpunktu a)
\(\displaystyle{ \left|AB \right| = \sqrt{(x_{a} - x_{b} )^{2} + (y_{a} - y_{b}) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left|AB \right| = \sqrt{(2 - 4 )^{2} + (3 + 1)^{2}} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ \left|AC \right| = \sqrt{(x_{a} - x_{c} )^{2} + (y_{a} - y_{c}) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ y _{c} = 2x _{c} +3}\)
\(\displaystyle{ \left|AC \right| = \sqrt{(x_{a} - x_{c} )^{2} + (y_{a} - 2x _{c} +3) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left|AC \right| = \sqrt{(2 - x_{c} )^{2} + (3 - 2x _{c} +3) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left|AC \right| = \sqrt{5x^2 - 4x + 4}}\)
\(\displaystyle{ \left|AC \right| = 2\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ 2\sqrt{5} = \sqrt{5x^2 - 4x + 4}}\) \(\displaystyle{ /^2}\)
\(\displaystyle{ 20 = 5x^2 - 4x + 4}\)
\(\displaystyle{ 0 = 5x^2 - 4x - 16}\)
\(\displaystyle{ \delta = b^2 - 4ac}\)
\(\displaystyle{ \delta = 16 + 4*5*16 = 336}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\delta} = 4 \sqrt{21}}\)
\(\displaystyle{ x_1 = \frac{2 - 2\sqrt{21}}{5}}\)
\(\displaystyle{ x_2 = \frac{2 + 2\sqrt{21}}{5}}\)
\(\displaystyle{ y_1 = \frac{19 - 4 \sqrt{21} }{5}}\)
\(\displaystyle{ y_2 = \frac{19 + 4 \sqrt{21} }{5}}\)
\(\displaystyle{ C_1 = (\frac{2 - 2\sqrt{21}}{5}; \frac{19 - 4 \sqrt{21} }{5})}\)
\(\displaystyle{ C_1 = (\frac{2 + 2\sqrt{21}}{5}; \frac{19 + 4 \sqrt{21} }{5})}\)
Jeżeli nie pomyliłem się w obliczeniach to powinno być dobrze
-- 21 sty 2010, o 00:29 --
Kurcze. Źle przeczytałem pytanie. Zaraz poprawie odpowiedź.
-- 21 sty 2010, o 01:05 --
Najpierw liczymy równanie prostej AB.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3 = 2a + b \\ -1 = 4a + b \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a = -2 \\ b = 7 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ y = -2x + 7}\)
Wyznaczamy teraz środek tego odcinka AB i oznaczymy go C'.
\(\displaystyle{ C' = \left( \frac{1}{2} \left( x_A + x_B\right); \frac{1}{2} \left(y_A + y_B \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ C' = \left( \frac{1}{2} \left( 2 + 4\right); \frac{1}{2} \left(3 - 1 \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ C' = \left( 3; 1 \right)}\)
Teraz wyznaczamy prostą prostopadłą do odcinka AB i przechodzącą przez punkt C'.
\(\displaystyle{ \left(y - y_{C'}\right) = - \frac{1}{a} \left( x - x_{C'} \right)}\)
\(\displaystyle{ \left(y - 1\right) = \frac{1}{2} \left( x - 3 \right)}\)
\(\displaystyle{ y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}}\)
Szukamy punktu przecięcia się prostej \(\displaystyle{ y = 2x +3}\) i prostej \(\displaystyle{ y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y = 2x +3 \\ y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y = -\frac{5}{3} \\ x = -\frac{7}{3} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ C = \left( -\frac{7}{3}; -\frac{5}{3} \right)}\)
-- 21 sty 2010, o 02:48 --
Odpowiedź do podpunktu b)
Wyznaczmy punkt przecięcia się prostej \(\displaystyle{ y = 2x + 3}\) i przedłużenia odcinka AB o równaniu \(\displaystyle{ y = -2x + 7}\) i nazwijmy do D.
\(\displaystyle{ \begin{cases} y = 2x + 3 \\ y = -2x + 7 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = 1 \\ y = 5 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ D = \left(1; 5\right)}\)
Niech przy punkcie D będzie kąt \(\displaystyle{ \alpha}\). Aby wyliczyć kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) trzeba wyliczyć punkt przecięcia się dwóch prostych przechodzącej przez ten punkt D z osią X. Weźmy prostą \(\displaystyle{ y = -2x + 7}\). Oznaczmy ten punkt przecięcia się E.
\(\displaystyle{ y = -2x + 7}\)
\(\displaystyle{ 0 = -2x + 7}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{7}{2}}\)
\(\displaystyle{ E = \left( \frac{7}{2}; 0 \right)}\)
Obliczmy teraz długość odcinka DE.
\(\displaystyle{ \left|DE \right| = \sqrt{\left(x_{d} - x_{e} \right)^{2} + \left(y_{d} - y_{e}\right) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left|DE \right| = \sqrt{\left(1 - \frac{7}{2} \right)^{2} + \left(5 - 0\right) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left|DE \right| = \sqrt{\left( -\frac{5}{2} \right)^{2} + \left(5\right) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left|DE \right| = \frac{5}{2} \sqrt{5}}\)
Weźmy teraz prostą \(\displaystyle{ y = 2x + 3}\), a punk przecięcia oznaczmy F.
\(\displaystyle{ y = 2x + 3}\)
\(\displaystyle{ 0 = 2x + 3}\)
\(\displaystyle{ x = -\frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ F = \left( -\frac{3}{2}; 0 \right)}\)
Obliczmy teraz długość odcinka DF.
\(\displaystyle{ \left|DF \right| = \sqrt{\left(x_{d} - x_{f} \right)^{2} + \left(y_{d} - y_{f}\right) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left|DF \right| = \sqrt{\left(1 + \frac{3}{2} \right)^{2} + \left(5 - 0\right) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left|DF \right| = \sqrt{\left( \frac{5}{2} \right)^{2} + \left(5\right) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left|DF \right| = \frac{5}{2} \sqrt{5}}\)
Długość odcinka EF.
\(\displaystyle{ \left|EF \right| = \sqrt{\left(x_{e} - x_{f} \right)^{2} + \left(y_{e} - y_{f}\right) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left|EF \right| = \sqrt{\left(\frac{7}{2} + \frac{3}{2} \right)^{2} + \left(0 - 0\right) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left|EF \right| = 5}\)
Teraz możemy policzyć kąt \(\displaystyle{ \alpha}\).
\(\displaystyle{ a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos\alpha}\)
\(\displaystyle{ \left|EF \right|^2 = \left|DE \right|^2 + \left|DF \right|^2 - 2\left|DE \right|\left|DF \right|cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ 5^2 =\left(\frac{5}{2} \sqrt{5}\right)^2 + \left(\frac{5}{2} \sqrt{5}\right)^2 - 2 * \frac{5}{2} \sqrt{5} * \frac{5}{2} \sqrt{5} * cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha = \frac{3}{5}}\)
Aby obliczyć punkt C, który leży na prostej \(\displaystyle{ y = 2x + 3}\) trzeba policzyć odległość tego punktu od prostej \(\displaystyle{ y = -2x + 7}\).
\(\displaystyle{ P_{ABC} = 15}\)
\(\displaystyle{ P_{ABC} = \frac{\left|AB \right|\left|CC' \right|}{2}}\)
\(\displaystyle{ 15 = \frac{2\sqrt{5} * \left|CC' \right|}{2}}\)
\(\displaystyle{ \left|CC' \right| = 3\sqrt{5}}\)
Aby obliczyć odcinek CD potrzebujemy \(\displaystyle{ sin\alpha}\), a mamy \(\displaystyle{ cos\alpha}\).
\(\displaystyle{ sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1}\)
\(\displaystyle{ sin^2\alpha + \left( \frac{3}{5} \right) ^2 = 1}\)
\(\displaystyle{ sin^2\alpha = 1 - \left( \frac{3}{5} \right) ^2}\)
\(\displaystyle{ sin^2\alpha = 1 - \frac{9}{25}}\)
\(\displaystyle{ sin^2\alpha = \frac{16}{25}}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha = \frac{4}{5}}\)
Teraz liczymy odcinek CD.
\(\displaystyle{ sin\alpha = \frac{4}{5}}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha = \frac{\left|CC' \right|}{\left|CD \right|}}\)
\(\displaystyle{ \frac{4}{5} = \frac{3\sqrt{5}}{\left|CD \right|}}\)
\(\displaystyle{ \left|CD \right| = \frac{15\sqrt{5}}{4}}\)
Teraz wyliczamy współrzędne punktu C.
\(\displaystyle{ \left|CD \right| = \sqrt{\left(x_{c} - x_{d} \right)^{2} + \left(y_{c} - y_{d}\right) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{15\sqrt{5}}{4} = \sqrt{\left(x_{c} - 1\right)^{2} + \left(y_{c} - 5\right) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{15\sqrt{5}}{4} = \sqrt{\left(x_{c} - 1\right)^{2} + \left(2x_{c} + 3 - 5\right) ^{2} }}\)
Po obliczeniach wychodzą dwie pary:
\(\displaystyle{ C_1 = \left(-\frac{11}{4}; -\frac{5}{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ C_2 = \left(\frac{19}{4}; \frac{25}{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ \left|AB \right| = \sqrt{(x_{a} - x_{b} )^{2} + (y_{a} - y_{b}) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left|AB \right| = \sqrt{(2 - 4 )^{2} + (3 + 1)^{2}} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ \left|AC \right| = \sqrt{(x_{a} - x_{c} )^{2} + (y_{a} - y_{c}) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ y _{c} = 2x _{c} +3}\)
\(\displaystyle{ \left|AC \right| = \sqrt{(x_{a} - x_{c} )^{2} + (y_{a} - 2x _{c} +3) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left|AC \right| = \sqrt{(2 - x_{c} )^{2} + (3 - 2x _{c} +3) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left|AC \right| = \sqrt{5x^2 - 4x + 4}}\)
\(\displaystyle{ \left|AC \right| = 2\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ 2\sqrt{5} = \sqrt{5x^2 - 4x + 4}}\) \(\displaystyle{ /^2}\)
\(\displaystyle{ 20 = 5x^2 - 4x + 4}\)
\(\displaystyle{ 0 = 5x^2 - 4x - 16}\)
\(\displaystyle{ \delta = b^2 - 4ac}\)
\(\displaystyle{ \delta = 16 + 4*5*16 = 336}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\delta} = 4 \sqrt{21}}\)
\(\displaystyle{ x_1 = \frac{2 - 2\sqrt{21}}{5}}\)
\(\displaystyle{ x_2 = \frac{2 + 2\sqrt{21}}{5}}\)
\(\displaystyle{ y_1 = \frac{19 - 4 \sqrt{21} }{5}}\)
\(\displaystyle{ y_2 = \frac{19 + 4 \sqrt{21} }{5}}\)
\(\displaystyle{ C_1 = (\frac{2 - 2\sqrt{21}}{5}; \frac{19 - 4 \sqrt{21} }{5})}\)
\(\displaystyle{ C_1 = (\frac{2 + 2\sqrt{21}}{5}; \frac{19 + 4 \sqrt{21} }{5})}\)
Jeżeli nie pomyliłem się w obliczeniach to powinno być dobrze
-- 21 sty 2010, o 00:29 --
Kurcze. Źle przeczytałem pytanie. Zaraz poprawie odpowiedź.
-- 21 sty 2010, o 01:05 --
Najpierw liczymy równanie prostej AB.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3 = 2a + b \\ -1 = 4a + b \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a = -2 \\ b = 7 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ y = -2x + 7}\)
Wyznaczamy teraz środek tego odcinka AB i oznaczymy go C'.
\(\displaystyle{ C' = \left( \frac{1}{2} \left( x_A + x_B\right); \frac{1}{2} \left(y_A + y_B \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ C' = \left( \frac{1}{2} \left( 2 + 4\right); \frac{1}{2} \left(3 - 1 \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ C' = \left( 3; 1 \right)}\)
Teraz wyznaczamy prostą prostopadłą do odcinka AB i przechodzącą przez punkt C'.
\(\displaystyle{ \left(y - y_{C'}\right) = - \frac{1}{a} \left( x - x_{C'} \right)}\)
\(\displaystyle{ \left(y - 1\right) = \frac{1}{2} \left( x - 3 \right)}\)
\(\displaystyle{ y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}}\)
Szukamy punktu przecięcia się prostej \(\displaystyle{ y = 2x +3}\) i prostej \(\displaystyle{ y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y = 2x +3 \\ y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y = -\frac{5}{3} \\ x = -\frac{7}{3} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ C = \left( -\frac{7}{3}; -\frac{5}{3} \right)}\)
-- 21 sty 2010, o 02:48 --
Odpowiedź do podpunktu b)
Wyznaczmy punkt przecięcia się prostej \(\displaystyle{ y = 2x + 3}\) i przedłużenia odcinka AB o równaniu \(\displaystyle{ y = -2x + 7}\) i nazwijmy do D.
\(\displaystyle{ \begin{cases} y = 2x + 3 \\ y = -2x + 7 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = 1 \\ y = 5 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ D = \left(1; 5\right)}\)
Niech przy punkcie D będzie kąt \(\displaystyle{ \alpha}\). Aby wyliczyć kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) trzeba wyliczyć punkt przecięcia się dwóch prostych przechodzącej przez ten punkt D z osią X. Weźmy prostą \(\displaystyle{ y = -2x + 7}\). Oznaczmy ten punkt przecięcia się E.
\(\displaystyle{ y = -2x + 7}\)
\(\displaystyle{ 0 = -2x + 7}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{7}{2}}\)
\(\displaystyle{ E = \left( \frac{7}{2}; 0 \right)}\)
Obliczmy teraz długość odcinka DE.
\(\displaystyle{ \left|DE \right| = \sqrt{\left(x_{d} - x_{e} \right)^{2} + \left(y_{d} - y_{e}\right) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left|DE \right| = \sqrt{\left(1 - \frac{7}{2} \right)^{2} + \left(5 - 0\right) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left|DE \right| = \sqrt{\left( -\frac{5}{2} \right)^{2} + \left(5\right) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left|DE \right| = \frac{5}{2} \sqrt{5}}\)
Weźmy teraz prostą \(\displaystyle{ y = 2x + 3}\), a punk przecięcia oznaczmy F.
\(\displaystyle{ y = 2x + 3}\)
\(\displaystyle{ 0 = 2x + 3}\)
\(\displaystyle{ x = -\frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ F = \left( -\frac{3}{2}; 0 \right)}\)
Obliczmy teraz długość odcinka DF.
\(\displaystyle{ \left|DF \right| = \sqrt{\left(x_{d} - x_{f} \right)^{2} + \left(y_{d} - y_{f}\right) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left|DF \right| = \sqrt{\left(1 + \frac{3}{2} \right)^{2} + \left(5 - 0\right) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left|DF \right| = \sqrt{\left( \frac{5}{2} \right)^{2} + \left(5\right) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left|DF \right| = \frac{5}{2} \sqrt{5}}\)
Długość odcinka EF.
\(\displaystyle{ \left|EF \right| = \sqrt{\left(x_{e} - x_{f} \right)^{2} + \left(y_{e} - y_{f}\right) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left|EF \right| = \sqrt{\left(\frac{7}{2} + \frac{3}{2} \right)^{2} + \left(0 - 0\right) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left|EF \right| = 5}\)
Teraz możemy policzyć kąt \(\displaystyle{ \alpha}\).
\(\displaystyle{ a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos\alpha}\)
\(\displaystyle{ \left|EF \right|^2 = \left|DE \right|^2 + \left|DF \right|^2 - 2\left|DE \right|\left|DF \right|cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ 5^2 =\left(\frac{5}{2} \sqrt{5}\right)^2 + \left(\frac{5}{2} \sqrt{5}\right)^2 - 2 * \frac{5}{2} \sqrt{5} * \frac{5}{2} \sqrt{5} * cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha = \frac{3}{5}}\)
Aby obliczyć punkt C, który leży na prostej \(\displaystyle{ y = 2x + 3}\) trzeba policzyć odległość tego punktu od prostej \(\displaystyle{ y = -2x + 7}\).
\(\displaystyle{ P_{ABC} = 15}\)
\(\displaystyle{ P_{ABC} = \frac{\left|AB \right|\left|CC' \right|}{2}}\)
\(\displaystyle{ 15 = \frac{2\sqrt{5} * \left|CC' \right|}{2}}\)
\(\displaystyle{ \left|CC' \right| = 3\sqrt{5}}\)
Aby obliczyć odcinek CD potrzebujemy \(\displaystyle{ sin\alpha}\), a mamy \(\displaystyle{ cos\alpha}\).
\(\displaystyle{ sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1}\)
\(\displaystyle{ sin^2\alpha + \left( \frac{3}{5} \right) ^2 = 1}\)
\(\displaystyle{ sin^2\alpha = 1 - \left( \frac{3}{5} \right) ^2}\)
\(\displaystyle{ sin^2\alpha = 1 - \frac{9}{25}}\)
\(\displaystyle{ sin^2\alpha = \frac{16}{25}}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha = \frac{4}{5}}\)
Teraz liczymy odcinek CD.
\(\displaystyle{ sin\alpha = \frac{4}{5}}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha = \frac{\left|CC' \right|}{\left|CD \right|}}\)
\(\displaystyle{ \frac{4}{5} = \frac{3\sqrt{5}}{\left|CD \right|}}\)
\(\displaystyle{ \left|CD \right| = \frac{15\sqrt{5}}{4}}\)
Teraz wyliczamy współrzędne punktu C.
\(\displaystyle{ \left|CD \right| = \sqrt{\left(x_{c} - x_{d} \right)^{2} + \left(y_{c} - y_{d}\right) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{15\sqrt{5}}{4} = \sqrt{\left(x_{c} - 1\right)^{2} + \left(y_{c} - 5\right) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{15\sqrt{5}}{4} = \sqrt{\left(x_{c} - 1\right)^{2} + \left(2x_{c} + 3 - 5\right) ^{2} }}\)
Po obliczeniach wychodzą dwie pary:
\(\displaystyle{ C_1 = \left(-\frac{11}{4}; -\frac{5}{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ C_2 = \left(\frac{19}{4}; \frac{25}{2}\right)}\)