Płaszczyzna \(\displaystyle{ \alpha}\) tworzy z osiami układu współrzędnych \(\displaystyle{ OXYZ}\) czworościan \(\displaystyle{ \alpha = x-6y+2z-1=0}\). Obliczyć pole powierzchni oraz objętość czworościanu powstałego.
Nie wiem jak się za to zabrac;/ a mam kolosa . wiem ze trzeba wyznaczyc punkty przebicia najprawdopodobniej, ale mogę sie mylić.
Płaszczyzna i czworościan
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Płaszczyzna i czworościan
Wystarczy, że policzysz punkty wspólne płaszczyzny z osiami, tzn.
\(\displaystyle{ A=(1,0,0),B=(0,-\frac{1}{6},0),C=(0,0,\frac{1}{2})}\)
Objętość czworościanu to przecież \(\displaystyle{ \frac{1}{6}|OA||OB||OC|}\), bo te krawędzie są do siebie prostopadłe (więc trójkąt utworzony z dwóch z nich możesz uznać za podstawę, a pozostałą krawędź za wysokość czworościanu).
Podobnie z polem:
\(\displaystyle{ S= S_{AOB}+S_{AOC}+S_{BOC}+S_{ABC}=\frac{1}{2}\left(|OA||OB|+|OA||OC|+|OB||BC|\right)+\frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|}\)
(pierwsze trzy trójkąty są prostokątne, przy trójkącie ABC korzystasz z faktu, że pole trójkąta rozpiętego na dwóch wektorach jest równe połowie długości iloczynu wektorowego tych wektorów).
\(\displaystyle{ A=(1,0,0),B=(0,-\frac{1}{6},0),C=(0,0,\frac{1}{2})}\)
Objętość czworościanu to przecież \(\displaystyle{ \frac{1}{6}|OA||OB||OC|}\), bo te krawędzie są do siebie prostopadłe (więc trójkąt utworzony z dwóch z nich możesz uznać za podstawę, a pozostałą krawędź za wysokość czworościanu).
Podobnie z polem:
\(\displaystyle{ S= S_{AOB}+S_{AOC}+S_{BOC}+S_{ABC}=\frac{1}{2}\left(|OA||OB|+|OA||OC|+|OB||BC|\right)+\frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|}\)
(pierwsze trzy trójkąty są prostokątne, przy trójkącie ABC korzystasz z faktu, że pole trójkąta rozpiętego na dwóch wektorach jest równe połowie długości iloczynu wektorowego tych wektorów).
Płaszczyzna i czworościan
Wystarczy, że policzysz punkty wspólne płaszczyzny z osiami, tzn. jak to zrobiłes :< ?? czemu 1/6 i 1/2?
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Płaszczyzna i czworościan
Punkty położone na osi OX to punkty o współrzędnych postaci \(\displaystyle{ (x,0,0)}\)
Punkty położone na osi OY to punkty o współrzędnych postaci \(\displaystyle{ (0,y,0)}\)
Punkty położone na osi OZ to punkty o współrzędnych postaci \(\displaystyle{ (0,0,z)}\)
Jeśli chcesz zatem wyznaczyć punkt płaszczyzny, który leży np. na osi OX, to podstawiasz \(\displaystyle{ y=z=0}\) i wyliczasz x. Analogicznie dla pozostałych osi.
Punkty położone na osi OY to punkty o współrzędnych postaci \(\displaystyle{ (0,y,0)}\)
Punkty położone na osi OZ to punkty o współrzędnych postaci \(\displaystyle{ (0,0,z)}\)
Jeśli chcesz zatem wyznaczyć punkt płaszczyzny, który leży np. na osi OX, to podstawiasz \(\displaystyle{ y=z=0}\) i wyliczasz x. Analogicznie dla pozostałych osi.