geometria analityczna

[urbanArt]

Dany jest kwadrat o kolejnych wierzchołkach A=(4,2), B=(-4,-2). Wyznacz współrzędne wierzchołka C tego kwadratu.

[Crizz]

Można to zadanie sformułować tak: znajdź prostą prostopadłą do prostej AB, przechodzącą przez punkt B, a na tej prostej taki punkt C, że \(\displaystyle{ |BC|=|AB|}\).

*Równanie prostej AB: \(\displaystyle{ y=\frac{x}{2}}\)
*Proste prostopadłe do AB mają równanie: \(\displaystyle{ y=-2x+c,c \in \Re}\)
*Prosta prostopadła do AB, przechodząca przez B, ma równanie \(\displaystyle{ y=-2x+c}\), gdzie c trzeba tak dobrać, żeby punkt B należał do tej prostej, czyli \(\displaystyle{ -2=-2(-4)+c,c=-10}\); stąd szukana prostą jest \(\displaystyle{ y=-2x-10}\)
*Punkt C leży na tej prostej, czyli \(\displaystyle{ y_{C}=-2x_{C}-10}\)
*\(\displaystyle{ |BC|=|AB|}\), czyli:
\(\displaystyle{ \sqrt{ (x_{C}+4)^{2}+(y_{C}+2)^{2} }=\sqrt{(-4-4)^{2}+(-2-2)^{2}}=\sqrt{80}}\)
\(\displaystyle{ (x_{C}+4)^{2}+(y_{C}+2)^{2}=80}\)
*rozwiązujesz układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x_{C}+4)^{2}+(y_{C}+2)^{2}=80 \\ y_{C}=-2x_{C}-10 \end{cases}}\)
i dostajesz rozwiązanie (oczywiście są dwa takie punkty)