Wyznaczenie punktu styczności 2 okręgów

[marcin22]

Witam, mam problem z policzeniem współrzędnych punktu 2 okręgów stycznych wewnętrznie których równania wynoszą \(\displaystyle{ (x-4)^{2}+(y-5)^{2}=25}\) i \(\displaystyle{ (x-7)^{2}+(y-9)^{2}=100}\).

Jako że domniemany punkt należy jednocześnie do 2 okręgów próbowałem ułożyć układ równań z równań tych okręgów ale nie dało się go rozwiązać (zawsze zostawały 2 zmienne).

Jest jakiś inny sposób żeby to policzyć?

[BettyBoo]

Odejmij równania stronami. Wtedy zostaje tylko x i y (kwadraty się odejmą). Otrzymujesz układ 2 równań z dwoma niewiadomymi. Możesz to rozwiązać na kilka sposobów (np wyznaczyć x z pierwszego równania i wstawić do drugiego).

Pozdrawiam.

[marcin22]

Nie pomyślałem żeby to później podstawić jeszcze, ale po podstawieniu otrzymanego po odjęciu stron \(\displaystyle{ -6x-8y+14=0}\) do równania pierwszego z okręgów wychodzi mi na końcu równanie kwadratowe z ujemną deltą A punkt ma wyjść jeden więc chyba delta powinna wyjść zero, niestety sprawdzałem 2 razy i nie wychodzi.

[BettyBoo]

Pomyliłeś się. Po pomnożeniu pierwszego równania przez 9 (dla ułatwienia rachunków) i podstawieniu \(\displaystyle{ 3x=7-4y}\) otrzymujesz \(\displaystyle{ 25y^2-50y+25=0}\), co daje jeden dwukrotny pierwiastek y=1, skąd masz x=1.

Pozdrawiam.

[marcin22]

Faktycznie pomnożenie przez 9 znacznie ułatwiło sprawę. Strasznie pogubiłem się w tych rachunkach

Dzięki serdeczne.