jeszcze 2 zadania z tego dzialu....

[Carl0s]

1. Znajdz najmniejsza odleglosc punktu P(2,0) od wykresu funkcji \(\displaystyle{ y=\sqrt{x}}\)

2. W trapezie rownoramiennym jedna z podstaw jest dwa razy dluzsza od drugiej. Przekatna jest dwusieczna kata przy dluzszej podstawie. Oblicz dlugosc bokow trapezu wiedzac, ze jego pole jest rowna \(\displaystyle{ 3\sqrt{3}}\). (moze to zadanie troche nie pasuje do tego dzialu ale what the hell...)

[Tristan]

1. Szukamy najmniejszej długości odcinka \(\displaystyle{ |PR|}\) gdzie \(\displaystyle{ P=(2,0)}\) i \(\displaystyle{ R=(x, \sqrt{x} )}\). Mamy więc \(\displaystyle{ |PR|=\sqrt{(x-2)^2 + (\sqrt{x})^2 }=\sqrt{2x^2-4x+4}}\). To co pod pierwiastkiem jest zawsze większe od zera ( ujemna delta), więc liczymy gdzie pochodna funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{2x^2-4x+4}}\)się zeruje i otrzymujemy, że następuje to gdy \(\displaystyle{ x=1}\), a wtedy \(\displaystyle{ |PR|=\sqrt{2-4+4}=\sqrt{2}}\).

2. To zadanie rzeczywiście nie pasuje do tego działu, ale już trudno...
Oznaczmy ten trapez jako ABCD, gdzie |AB|=2a, |CD|=a, |AD|=|BC|=b, oraz \(\displaystyle{ \angle BAC=\alpha, \angle CAD=\alpha}\). Zauważ, że trójkąty ABC i ACD są podobne, więc zachodzi stosunek:
\(\displaystyle{ \frac{2a}{b}=\frac{b}{a}}\)
\(\displaystyle{ 2a^2=b^2}\)
Wysokość możesz policzyć z twierdzenia Pitagorasa, a ponieważ masz podane pole, to otrzymujesz równanie \(\displaystyle{ 3 \sqrt{3}=\frac{ h(2a+a) }{2}}\). Dalej już sobie poradzisz.

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ ah=2 \sqrt{3},}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{a}{2}}{h} = ctg(2 )}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{3a}{2}}{h} = ctg(\alpha)}\)

tj.
\(\displaystyle{ \alpha=\frac{\pi} {6}}\)

[ Dodano: 6 Lipiec 2006, 17:50 ]
a=2
h= \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)

[Carl0s]

no tak..ale skad wiadomo, ze te trojkaty sa podobne? kat miedzy rownymi bokami (b i przekatna) nie jest taki sam...

[mol_ksiazkowy]

ABC i ACD chyba nie są podobne....

[Tristan]

Mamy trójkąty ABC i ACD. Skoro przekątna jest dwusieczną kąta przy dłuższej podstawie, więc dzieli kąt BAD na dwa kąty o równych miarach. Czyli kąty BAC i CAD mają takie same miary. Ponieważ DC i AB są równoległe, więc kąty BAC i ACD są naprzemianległe, więc również mają te same miary, czyli trójkąty ABC i ACD są podobne na podstawie cechy kk (kąt- kąt).
mol_ksiazkowy - jeśli mówisz, że tak nie jest, to podaj argumenty, bo samo zdanie " chyba nie są podobne" nic sensownego nie wnosi.

[mol_ksiazkowy]

Widzę, tylko ze kąty w tych trójkatach mają miary....: , ich podobienstwa nie widze:
\(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \pi-2\alpha}\)
\(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ 2\alpha}\), \(\displaystyle{ \pi- 3\alpha}\)

[Carl0s]

hmm...liczac sposobami mola i Tristana wychodza rozne wyniki... ??:
mol- skad ci wyszla taka wartosc kata α??

[Tristan]

Mój sposób jest zły. Rzeczywiście nie zauważyłem, że brakuje jeszcze jedno kąta, by te trójkąty były podobne.

[mol_ksiazkowy]

bo \(\displaystyle{ \frac{a}{h} = 2 ctg(2 )= \frac{2 ctg( )}{3}}\)tj. \(\displaystyle{ u=tg(\alpha)}\) i...\(\displaystyle{ 3u=\frac{2u}{1-u^{2}}, u\neq 0, u=\frac{1}{sqrt{3}}}\),

[ Dodano: 6 Lipiec 2006, 18:40 ]
\(\displaystyle{ \frac{a}{h} = \frac{2}{\sqrt{3}}}\)

[Carl0s]

hmm...moglbys napisac jak to przeksztalcasz na tangensy ?? bo jak ja to robie to mi kompletnie cos innego wychodzi...

[mol_ksiazkowy]

mam \(\displaystyle{ 2 ctg(2 )= \frac{2 ctg( )}{3}}\), tj \(\displaystyle{ ctg(2 )= \frac{ ctg( )}{3}=\frac{ 1}{3 tg( )}}\),
tj. odwracajac: \(\displaystyle{ tg(2 )= 3 tg( )}\),

\(\displaystyle{ tg(2 )= \frac{2 tg( )}{1-(tg( ))^{2}}}\)

[Carl0s]

kurde bele...dalej mi cos nie gra...czemu po obruceniu jest\(\displaystyle{ \large 3tg(%20\alpha)}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{%201}{3%20tg(%20\alpha)}}\)

[mol_ksiazkowy]

heh....no bo \(\displaystyle{ \frac{1}{3 tg(\alpha)}}\),jest przed odwróceniem....tak...?

[Carl0s]

no tak..ale sie obraca przy zamianie z ctg na tg....to po co jeszcze raz odwracac?