Znaleźć równanie prostej zawierającej ramię trójkąta

[labster]

W prostej \(\displaystyle{ x+y-1=0}\) zawarta jest podstawa trójkąta równoramiennego. Jedno z ramion zawiera się w prostej \(\displaystyle{ x-2y-2=0}\). Znaleźć równanie prostej zawierającej drugie ramię, wiedząc, że przechodzi ona przez pkt \(\displaystyle{ P(-2,0)}\).

Moje oznaczenia :
\(\displaystyle{ k: x+y-1=0}\)
\(\displaystyle{ l: x-2y-2=0}\)
\(\displaystyle{ p: y=ax+b}\)
\(\displaystyle{ P(-2,0) \in p}\)

z układu równań otrzymałem współrzędne pkt. A - \(\displaystyle{ A( \frac{4}{3} , -\frac{1}{3})}\)
Podstawiając wsp. pkt P do prostej p otrzymałem \(\displaystyle{ b=2a}\).
Nie wiem co dalej, domyślam się, że będzie to jakiś układ równań. Z góry dziękuję za pomoc.

[anna_]

Nie wiem czy to jest najprostszy sposób.

Prostej zawierającej drugie ramię jest postaci \(\displaystyle{ y=ax+b}\) i przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ P(-2,0)}\), więc jego wspólrzędne muszą to równanie spełniać.
\(\displaystyle{ 0=-2a+b}\)
\(\displaystyle{ b=2a}\)
równanie przybiera więc postać
\(\displaystyle{ y=ax+2a}\)

\(\displaystyle{ B}\) - punkt należący do prostej \(\displaystyle{ y = 1 - x}\)
\(\displaystyle{ B(x_B;1-x_B)}\)
Należy on również bo prostej \(\displaystyle{ y=ax+2a}\), więc
\(\displaystyle{ 1-x_B=ax_B+2a}\)
\(\displaystyle{ ax_B+x_B=1-2a}\)
\(\displaystyle{ x_B(a+1)=1-2a}\)
\(\displaystyle{ x_B= \frac{1-2a}{a+1}}\)
ostatecznie \(\displaystyle{ B(\frac{1-2a}{a+1};1-\frac{1-2a}{a+1})}\)


Punkt C należy do prostej \(\displaystyle{ y=0,5x-1}\)
\(\displaystyle{ C(x_C;0,5x_C-1)}\)
nalezy też do prostej \(\displaystyle{ y=ax+2a}\) więc
\(\displaystyle{ 0,5x_C-1=ax_C+2a}\)
\(\displaystyle{ x_C= \frac{4a+2}{1-2a}}\)
czyli \(\displaystyle{ C(\frac{4a+2}{1-2a}; \frac{2a+1}{1-2a} )}\)

Trójkąt ma być równoramienny, więc
\(\displaystyle{ |AB|=|AC|}\)
Będzie jedno równanie z jedną niewiadomą

Mam nadzieję, że nigdzie się nie pomyliłam.

[labster]

Dziękuję za pomoc. Ale zrobiłem to inaczej. Narysowałem rysunek w ukł.współrzednych i odczytałem z niego, że pkt P należy do ramienia. To wszystko znacznie upraszcza, aczkolwiek Twój sposób nmn, również był prawidłowy tylko trudniejszy. Tak czy owak, dziękuję za pomoc, a rozwiązanie zadania moim sposobem zamieszczę jeszcze dzisiaj