Równiania płaszczyzn stycznych do sfery

patero · Post autor: **patero** » 11 sty 2010, o 21:25

Mam zadanie:
Znaleźć równania płaszczyzn stycznych do sfery o równaniu: (x+1)^2+(y-5)^2+(z+2)^2=36 i równoległych do płaszczyzny: 12x-3y+4z-8=0

Nie bardzo mam pomysł. Jakieś wskazówki?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 11 sty 2010, o 21:29

Płaszczyzny równoległe mają równoległe wektory normalne (można przyjąć, że równe), więc szukane płaszczyzny mają postać \(\displaystyle{ 12x-3y-4z+a=0}\). Warunek styczności: odległość środka sfery od płaszczyzny stycznej jest równa promieniowi (analogia do okręgu i prostej stycznej na płaszczyźnie).

Pozdrawiam.

patero · Post autor: **patero** » 11 sty 2010, o 22:13

Ok. To już złapałem.

A mam jeszcze coś takiego:

Znaleźć równanie okręgu powstałego z przecięcia sfery (x-1)^2+(y-5)^2+(z+1)^2=100 płaszczyzną 2x-3y+6z-3=0

???

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 11 sty 2010, o 22:30

Oblicz \(\displaystyle{ x,y}\) lub \(\displaystyle{ z}\) z równania płaszczyzny i wstaw do równania sfery.

Jesteś pewien, że chodzi Ci o równanie, a nie o środek i promień?

Pozdrawiam.

patero · Post autor: **patero** » 13 sty 2010, o 10:58

Jak będę miał środek i promień to i równanie się napisze. Tyle, że ja tak robię, ale mam 3 niewiadome na 2 równania???

matematix · Post autor: **matematix** » 3 sty 2012, o 21:38

Jak dokończyć te 1. zadanie, tzn. jak zapisać warunek, żeby te płaszczyzny były styczne do sfery?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 4 sty 2012, o 11:44

patero pisze:Jak będę miał środek i promień to i równanie się napisze. Tyle, że ja tak robię, ale mam 3 niewiadome na 2 równania???

To dobrze. Przecież w równaniu okręgu występują dwie "niewiadome".

matematix pisze:Jak dokończyć te 1. zadanie, tzn. jak zapisać warunek, żeby te płaszczyzny były styczne do sfery?

Ze wzoru na odległość punktu (środka sfery) od płaszczyzny i z warunku styczności:

\(\displaystyle{ 6=\frac{|12\cdot (-1)-3\cdot 5-4\cdot (-2)+a|}{\sqrt{12^2+3^2+4^2}}}\)

Pozdrawiam.