Wyznaczanie wsp. by trojkat byl prostokatny.

[Evair]

Prosta o równaniu \(\displaystyle{ x-2y+2=0}\) przecina okrąg O: \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-6x-16=0}\) w punktach A i B. Znajdź równanie symetralnej \(\displaystyle{ m}\) cięciwy AB. Wyznacz współrzędne takiego punktu \(\displaystyle{ M \in m}\), dla którego trójkąt ABM jest prostokątny.

Pierwsza częśc zadania zrobilem, zostalo mi tylko znalezc pkt M. Licze na szybka odpowiedz. Dzieki, pozdrawiam.

[Crizz]

\(\displaystyle{ A=(-2,0)}\)
\(\displaystyle{ B=(6,4)}\)

Jeśli się nie mylę, równanie prostej m wygląda tak:
\(\displaystyle{ y=-2x+6}\)

O punkcie M wiemy dwie rzeczy:
*leży na prostej m, czyli jego współrzędne spełniają równanie \(\displaystyle{ y=-2x+6}\)
*trójkąt ABM jest prostokątny (tylko kąt AMB może być prosty, w przeciwnym wypadku jeden z boków zawierający M musiałby być równoległy do prostej m), czyli iloczyn skalarny wektorów \(\displaystyle{ AM}\) i \(\displaystyle{ MB}\) jest równy zeru:
\(\displaystyle{ \vec{AM}=[x+2,y]}\)
\(\displaystyle{ \vec{BM}=[x-6,y-4]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AM} \circ \vec{BM}=0}\)
\(\displaystyle{ (x+2)(x-6)+y(y-4)=0}\)

Żeby znaleźć współrzędne punktu M, wystarczy zatem rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-2x+6 \\ (x+2)(x-6)+y(y-4)=0 \end{cases}}\)

Po podstawieniu y z drugiego równania do pierwszego dostajemy proste równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ 5x^{2}-20x=0}\)
\(\displaystyle{ x=0 \vee x=4}\)
Stąd \(\displaystyle{ M=(0,6)}\) albo \(\displaystyle{ M=(4,-2)}\).

[Evair]

Nie mialem jeszcze nic, co nosi w nazwie skalarny. Zakres 3 klasy LO, wiec jakbys mogl/a to inaczej przedstawic?

[Dartas91]

Nie mialem jeszcze nic, co nosi w nazwie skalarny. Zakres 3 klasy LO, wiec jakbys mogl/a to inaczej przedstawic?

hmmm...w 3 lo iloczyn skalarny to chyba podstawa ale moge się mylić