Matematyka.pl

Oblicz odległość między prostymi
\(\displaystyle{ l}\) : \(\displaystyle{ x}\) = \(\displaystyle{ \frac{y}{1/2}}\) = \(\displaystyle{ -z}\)

\(\displaystyle{ k}\) : \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=1+2t\\y=1-t\\z=-2t \end{array}}\)

Wektor kierunkowy pierwszej prostej: \(\displaystyle{ \left[1,\frac{1}{2},-1\right]}\), drugiej \(\displaystyle{ [2,-1,-2]}\). Wektory nie są równoległe, więc proste nie są równoległe. Wystarczy skorzystać ze wzoru na odległość prostych skośnych (jeśli nie są skośne, to wyjdzie 0) lub z konstrukcji, która służy do zapisania tego wzoru:

1) piszesz równanie płaszczyzny zawierającej jedną prostą i równoległej do drugiej
2) bierzesz dowolny punkt z drugiej prostej i liczysz jego odległość od płaszczyzny

Pozdrawiam.

A możesz to napisać?
Nie czuję analitycznej za bardzo.

Ad 1) szukana płaszczyzna jest w szczególności równoległa do obu prostych, a więc wektor normalny tej płaszczyzny jest prostopadły do obu wektorów kierunkowych - zatem jest równoległy (można przyjąć, że równy) do ich iloczynu wektorowego. Obliczasz iloczyn wektorowy wektorów kierunkowych (zapisałam je wyżej) - tyle już chyba umiesz? Dla zapisania równania płaszczyzny podstawiasz dowolny punkt z pierwszej prostej, np (0,0,0). Równanie płaszczyzny wychodzi w postaci \(\displaystyle{ Ax+By+Cz=0}\)

Ad 2) punkt z drugiej prostej to np (1,1,0), więc \(\displaystyle{ d=\frac{|A\cdot 1+b\cdot 1+C\cdot 0|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}\)

Pozdrawiam.

Nic nie rozumiem. A jak z tym wzorem na odległość prostych skośnych? Może tu załapię.

Czego nie zrozumiałeś?

\(\displaystyle{ d=\frac{|\vec{AB}\circ (\vec{k}\times \vec{m})|}{|\vec{k}\times \vec{m}|}}\)

gdzie \(\displaystyle{ A,B}\) są punktami na prostych, a \(\displaystyle{ \vec{k},\vec{m}}\) są wektorami kierunkowymi prostych.

Pozdrawiam.