Równanie prostej stycznej do okręgu.

[stp1]

Treść zadania:
Wykaż, że równanie prostej stycznej do okręgu \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} = r^{2}}\) w punkcie \(\displaystyle{ P = (x _{0}, y _{0})}\) ma postać \(\displaystyle{ xx _{0} + yy _{0} = r^{2}}\).


Nie mam w ogóle pomysłu na rozwiązanie tego zadania, w związku z czym zwracam się do Was z prośbą o pomoc. Jeśli to możliwe i nie proszę o zbyt wiele, byłbym bardzo wdzięczny za rozpisanie całego zadania. Z góry dziękuję

[Crizz]

Prosta przechodząca przez punkty \(\displaystyle{ (0,0)}\) i \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0})}\) ma równanie \(\displaystyle{ y=\frac{y_{0}}{x_{0}} \cdot x}\). Styczna do okręgu w punkcie \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0})}\) to oczywiście ta prostopadła do tej prostej, która przechodzi przez \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0})}\). Rodzinę prostych prostopadłych do \(\displaystyle{ y=\frac{y_{0}}{x_{0}} \cdot x}\) można opisać równaniem \(\displaystyle{ y=-\frac{x_{0}}{y_{0}} \cdot x+c,c\in \Re}\). Liczbę c wyznaczamy, podstawiając do tego równania współrzędne punktu \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0})}\): \(\displaystyle{ y_{0}=-\frac{x_{0}}{y_{0}} \cdot x_{0}+c \Rightarrow c=\frac{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}{y_{0}}=\frac{r^{2}}{y_{0}}}\) (gdyż \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0})}\) jest punktem na okręgu). Ostatecznie otrzymujemy, że \(\displaystyle{ y=-\frac{x_{0}}{y_{0}} \cdot x +\frac{r^{2}}{y_{0}}}\), czyli po przekształceniach \(\displaystyle{ xx_{0}+yy_{0}=r^{2}}\).

Zastanów się teraz, dlaczego ten dowód jest niekompletny.