dywergencja i rotacja pola wektorowego

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Jacek_fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 694
Rejestracja: 3 paź 2008, o 16:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 8 razy

dywergencja i rotacja pola wektorowego

Post autor: Jacek_fizyk »

hej! czy ktos moze znalezc dywergencje i rotacje pola wektorowego:

\(\displaystyle{ \nabla \cdot \vec{F}}\)
\(\displaystyle{ \nabla \times \vec{F}}\)

\(\displaystyle{ \vec{F} = \frac{{(y+3) \vec{x}-x \vec{y}}}{x^2+(y+3)^2}} + (x^2+y^2+z^2)(x \vec{x}+y \vec{y}+z \vec{z})}\)
z gory dzieki
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

dywergencja i rotacja pola wektorowego

Post autor: BettyBoo »

A problem polega na...? Podaj swoje obliczenia, to sprawdzimy.

Pozdrawiam.
Jacek_fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 694
Rejestracja: 3 paź 2008, o 16:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 8 razy

dywergencja i rotacja pola wektorowego

Post autor: Jacek_fizyk »

problem polega na tym ze z pierwszego znajduje \(\displaystyle{ \frac{ \vec{\rho} }{\rho}}}\) a z 'tym' co pozostaje nie wiem zupelnie co zrobic...
ciezko mi idzie takze dostosowanie wzorow do tego przykladu....
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

dywergencja i rotacja pola wektorowego

Post autor: BettyBoo »

Pierwszą część możesz obliczyć z wykorzystaniem współrzędnych walcowych, a drugą - sferycznych. Oba iloczyny są rozdzielne względem dodawania, więc potem dodajesz wyniki.

Możesz też po prostu obliczyć w kartezjańskich.

Pozdrawiam.
Jacek_fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 694
Rejestracja: 3 paź 2008, o 16:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 8 razy

dywergencja i rotacja pola wektorowego

Post autor: Jacek_fizyk »

nie umiem wogole do tego dojsc, czy mozesz mi pokazac jak to sie najprosciej liczy....to jedno z zadan na kolokwium i napewno cos takiego sie znow pojawi......
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

dywergencja i rotacja pola wektorowego

Post autor: BettyBoo »

Pokażę Ci na dywergencji. Zapiszmy

\(\displaystyle{ \vec{F} = \vec{G}+\vec{H}\ \Rightarrow \ \nabla \cdot \vec{F}=\nabla\cdot \vec{G}+\nabla\cdot \vec{H}\\ \\ \vec{G}=\frac{{(y+3) \vec{x}-x \vec{y}}}{x^2+(y+3)^2}},\\ \\ \vec{H}= (x^2+y^2+z^2)(x \vec{x}+y \vec{y}+z \vec{z})}\)

Pierwsze pole ma ładną postać we współrzędnych walcowych (przesuniętych), a drugie w sferycznych:

\(\displaystyle{ \vec{G}=-\frac{1}{\sqrt{x^2+(y+3)^2}}}{\frac{{-(y+3) \vec{x}+x \vec{y}}}{\sqrt{x^2+(y+3)^2}}}=-\frac{1}{\rho}\vec{\phi}\\ \\
\vec{H}= (x^2+y^2+z^2)(x \vec{x}+y \vec{y}+z \vec{z})=(\sqrt{x^2+y^2+z^2})^3\frac{x \vec{x}+y \vec{y}+z \vec{z}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=r^3\vec{r}}\)


Teraz wystarczy skorzystać ze wzorów na dywergencję w obu układach współrzędnych, a potem zamienić to z powrotem na współrzędne kartezjańskie:

\(\displaystyle{ \nabla\cdot \vec{G}=0\\ \\
\nabla\cdot\vec{H}=\frac{1}{r^2}5r^4=5r^2=5(x^2+y^2+z^2)}\)


więc

\(\displaystyle{ \nabla\cdot F=5(x^2+y^2+z^2)}\)

Wygląda na długie, ale napisałam więcej niż trzeba. Jeśli Ci się to nie podoba, to oblicz po prostu w kartezjańskich (ale skorzystaj z liniowości chociaż, tzn oblicz dywergencję pola G osobno i pola H osobno).

Postać obu pól masz, teraz wstaw to do wzorów na rotację i też wyjdzie ładnie.

Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ