Działania na wektorach - dowodzenie

[Savannah]

Mam tutaj kilka zadań, z którymi nie mogę sobie poradzić. Bardzo proszę o rozwiązanie, albo chociaż o podpowiedź . Zależy mi zwłaszcza na pierwszym.

1. Udowodnij, że jeśli w czworokącie ABCD punkty M i N są środkami przekątnych AC i BD, to wektor \(\displaystyle{ MN = \frac{1}{2} (AB+CD)}\).
A tak przy okazji - można zapisać jakoś wektory za pomocą Latexa?

2.
a) Wewnątrz trójkąta ABC wybrano dowolny punkt P. Niech M, L, N oznaczają odpowiednio środki boków AB, BC i CA. Wykaż, że (wektory:) \(\displaystyle{ PA + PB + PC = PM + PL + PN}\).
b) Udowodnij, że jeśli punkt D jest środkiem ciężkości trójkąta ABC, to (wektory:) \(\displaystyle{ DA+DB+DC=0}\)

[BettyBoo]

Kod: Zaznacz cały

[tex]vec{AB}[/tex] 

daje \(\displaystyle{ \vec{AB}}\)



1) \(\displaystyle{ \begin{cases}\vec{MN}=\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN}\\ \vec{MN}=\vec{MC}+\vec{CD}+\vec{DN}\\ \vec{MA}=-\vec{MC}\\ \vec{BN}=-\vec{DN}\end{cases}\ \Rightarrow \ 2\vec{MN}=\vec{AB}+\vec{CD}}\)

2) a)\(\displaystyle{ \begin{cases} \vec{PM}=\vec{PA}+\vec{AM}\\ \vec{PN}=\vec{PC}+\vec{CN}\\ \vec{PL}=\vec{PB}+\vec{BL}\\ \vec{AM}+\vec{BL}+\vec{CN}=\frac{1}{2}{(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA})=\vec{0}\end{cases}\ \\ \\ \Rightarrow \vec{PM} + \vec{PL} + \vec{PN}= \vec{PA} +\vec{ PB} +\vc{ PC}}\)

b) \(\displaystyle{ \begin{cases}\vec{DA}=-2\vec{DL}\\ \vec{DB}=-2\vec{DN}\\ \vec{DC}=-2\vec{DM}\\ \vec{DM} + \vec{DL} + \vec{DN}= \vec{DA} +\vec{ DB} +\vec{ DC}\end{cases}\\ \Rightarrow \ \vec{DM} + \vec{DL} + \vec{DN}=\vec{0}\ \Rightarrow \vec{DA} +\vec{ DB} +\vec{ DC}=\vec{0}}\)

Pozdrawiam.