Napisz równanie płaszczyzny zawierajacej trójkąt

[zaga]

Chyba powinnam to pytanie umieścić tutaj:

Jestem na pierwszym roku studiów (ekonomia) i matematyka zaczęła mi sprawiać trudności. Mam takie zadanko, czy ktos mógłby mi powiedzieć, jak się je rozwiązuje? Nawet może być rozwiązane bez większego tłumaczenia, jak będę widziała rozwiązanie, to już będę wiedzieć, jak się robi tego typu zadania. Jest to zadanie z podzbiorów przestrzeni n-wymiarowej.

No więc tak:

Napisz równanie płaszczyzny zawierającej trójkąt o wierzchołkach:
x1=(2,4,0) x2=(3,2,1) x3=(4,0,6).

Bardzo proszę o pomoc!!!

[Yavien]

Równanie ogólne płaszczyzny:
Ax+By+Cz+D=0
Jeśli płaszczyzna przechodzi przez punkty o współrzędnych (x_1,y_1), (x_2,y_2) oraz (x_3,y_3), to liczymy taki wyznacznik i przyrównujemy do 0:

| x - x_1 , y - y_1 , z - z_1 |
| x_2 - x_1 , y_2 - y_1 , z_2 - z_1 | = 0
| x_3 - x_1 , y_3 - y_1 , z_3 - z_1 |

Czyli u nas:
x1=(2,4,0) x2=(3,2,1) x3=(4,0,6).
|x - 2 , y - 4 , z|
|3-2 , 2-4, 1| = 0
|4-2 , -4 , 6|

liczysz wyznacznik i masz równanie płaszczyzny...

[zaga]

a jak się liczy te wyznaczniki?
i nie ma innego sposobu?

[Yavien]

zaga, nie ma sie co bac wyznacznikow. Jeszcze nie mialas? Bedziesz miec serio-serio
A tak powazniej, wyznacznik czegos takiego jak tu (czyli macierzy 3x3) liczy sie nastepujaco:
|a b c|
|d e f|=a*e*f + b*f*g + c*d*h - c*e*f - a*f*h - b*d*i
|g h i|

latwo nawet to zapamietac, takie mnozenie na krzyz raz z plusem, raz z minusem. Wyznaczniki po prostu ulatwiaja pewne zapisy i np rozwiazywanie rownan, taki skrocony zapis z prostym przepisem, co z tym robic.

Do rzeczy. Za pomoca tego tajemniczego wyznacznika zostal zapisany wzor na te wszystkie wspolczynniki A, B, C i D potrzebne do rownania plaszczyzny:

|x - 2 , y - 4 , z| |x-2, y-4,z|
|3 - 2, 2 - 4, 1|=|1 , - 2 , 1|= -12(x - 2) + 2(y - 4) - 4z + 4z - 6(y - 4) + 4(x - 2) =
| 4 - 2 , - 4 , 6 | |2 , - 4 , 6|

= -8(x - 2) - 4(y-2) + 0z = -8x - 4y + 16 + 8 = -8x -4y +24

Płaszczyzna ma równanie: -8x - 4y + 24 = 0

[zaga]

Oczywiście, że miałam wyznaczniki. Ale to były takie mniej skomplikowane. To było chyba do funkcji kwadratowej, wyglądało jakoś tak:
|a1 b1|
|a2 b2|
|c1 c2|
i z tego się obliczało x i y. A tam są aż 3x3, więc tu już miałam problem.
Dzięki za rozwiązanie problemu
:*

[W_Zygmunt]

Można też tak:
Oznaczmy punkt X1 ma współrzęne (x1,y1,z1), X2(x2,y2,z2)...
Proponuję przypomnieć sobie mnożenie wektora przez liczbę, dodawanie wektorów oraz iloczyn wektorowy.
Oznaczmy przez W wektor (X1,X2) oraz U wektor (X1,X3)
W ma współrzędne (3-2,2-4,1-0)=(1,-2,1)
U ma współrzędne (4-2,0-4,6-0)=(2,-4,6)
Jeśli pomnożymy W przez liczbę t a U przez s i dodamy otrzymane wektory, to otrzmamy wektor (X1,P), który leży w jednej płaszczyźnie z wektorami W i U. Jeśli będziemy zmieniać patametry t i s od -inf do +inf koniec wektora "P" będzie przyjmował dowolne położęnie na płaszczyźnie.

----> _____----->______----->
(X1,P) = t*(X1,X2) + s*(X2,X3) - to jest postać wektorowa równana płszczyzny
przechodzązcej prez 3 punkty.
Rozpisując na współrzędne mamay
x-x1 = t*(x2-x1)+s*(x3-x1)
y-y1 = t*(y2-y1)+s*(y3-y1)
z-z1 = t*(z2-z1)+s*(z3-z1)
czyli
x = t*(x2-x1)+s*(x3-x1)+x1
y = t*(y2-y1)+s*(y3-y1)+y1
z = t*(z2-z1)+s*(z3-z1)+z1
Ten układ równań to parametryczne równanie płaszczyzny przechodzącej przez 3 dane punkty.
x = t+2s+2
y = -2t-4s+4
z = t+6s+0
Wliczając z dwóch równań t oraz s i wstawiając do trzeciego możemy otrzymać równanie ogólne w postaci Ax+By+Cz+D=0.
2x+y+0z-6=0

Otrzywiście można jeszcze wyjść z warunku prostopadłośći wektorów wyliczjąc najpierw wektor prostopadły do wektorów W i U z iloczyny wektorowego.

[zaga]

to chyba najbliższe rozwiązanie, jeśli chodzi o to, co miałam na wykładach i ćwiczeniach. właśnie chyba w podobny sposób rozwiązywaliśmy podobne zadania.
ale już teraz jestem po kolokwium z m.in. tego tematu i mam nadzieję, że jakoś mi poszło : )

pozdrawiam i dzięki : *