Cześć, mam problem z zadaniem.
Znajdź te wartości parametru m, dla których okręgi \(\displaystyle{ x^2+y^2+4x-2my+m^2=0}\) i \(\displaystyle{ x^2+y^2=2}\) są styczne.
Okręgi styczne zewnętrznie:
\(\displaystyle{ \left| AB\right|= r_{1} + r_{2}}\)
Okręgi styczne wewnętrznie:
\(\displaystyle{ \left| AB\right|= r_{1} - r_{2}}\)
Dla pierwszego okręgu: \(\displaystyle{ S=(0,0)}\) \(\displaystyle{ r= \sqrt{2}}\)
Dla drugiego okręgu: \(\displaystyle{ S=(-2,1)}\) \(\displaystyle{ r= \sqrt{5}-m}\)
Więc:
\(\displaystyle{ \left|AB \right|= \sqrt{5}}\)
Styczne zewnętrznie:
\(\displaystyle{ \sqrt{5} = \sqrt{2} + \sqrt{5} -m \Rightarrow m= \sqrt{2}}\)
Stycznie wewnętrznie:
\(\displaystyle{ \sqrt{5} = \sqrt{2} -( \sqrt{5} -m) \Rightarrow m= 2 \sqrt{5}- \sqrt{2}}\)
A w odpowiedziach jest
\(\displaystyle{ m=- \sqrt{ 4\sqrt{2}+2}}\) lub \(\displaystyle{ m= \sqrt{4\sqrt{2}+2}}\)
Jak to możliwe nie wiem, proszę o wskazanie błędu...
Stycznośc okregów z parametrem
-
pokerstar45
- Użytkownik
- Posty: 104
- Rejestracja: 23 sie 2009, o 07:19
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 3 razy
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Stycznośc okregów z parametrem
Chyba trochę inaczej.pokerstar45 pisze: Dla drugiego okręgu: \(\displaystyle{ S=(-2,1)}\) \(\displaystyle{ r= \sqrt{5}-m}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+4x-2my+m^{2}=x^{2}+4x+4-4+y^{2}-2my+m^{2}=(x+2)^{2}+(y-m)^{2}-4}\), zatem równanie drugiego okręgu przybiera postać \(\displaystyle{ (x-2)^{2}+(y-m)^{2}=4}\).
-
anna_
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Stycznośc okregów z parametrem
Pomyłka w ostatnim zapisie:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+4x-2my+m^{2}=x^{2}+4x+4-4+y^{2}-2my+m^{2}=(x+2)^{2}+(y-m)^{2}-4}\), zatem równanie drugiego okręgu przybiera postać \(\displaystyle{ (x+2)^{2}+(y-m)^{2}=4}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+4x-2my+m^{2}=x^{2}+4x+4-4+y^{2}-2my+m^{2}=(x+2)^{2}+(y-m)^{2}-4}\), zatem równanie drugiego okręgu przybiera postać \(\displaystyle{ (x+2)^{2}+(y-m)^{2}=4}\)
-
pokerstar45
- Użytkownik
- Posty: 104
- Rejestracja: 23 sie 2009, o 07:19
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 3 razy
Stycznośc okregów z parametrem
Ok, sam doszedłem do tego zanim wszedłem na forum. tak czy siak dziękuję
Stycznośc okregów z parametrem
Wyniki wyszły Wam takie jak w książce ??
Bo mi wyszło: \(\displaystyle{ m= \sqrt{2} \vee m= -\sqrt{2}}\)
Pierwszy okrąg:
\(\displaystyle{ S1 = (0, 0)}\)
\(\displaystyle{ r1 = \sqrt{2}}\)
Doprowadziłem drugie równanie okręgu do postaci:
\(\displaystyle{ (x+2)^{2}+(y-m)^{2}=4}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ S2 = (-2, m)}\)
\(\displaystyle{ r2 = 2}\)
Okręgi mogą być stycznie wewnętrznie lub zewnętrznie, wiec trzeba sprawdzić dwa przypadki:
Zewnętrznie: \(\displaystyle{ \left|S1,S2 \right| = r1 + r2}\)
Wewnętrznie: \(\displaystyle{ \left|S1,S2 \right| = r1 -r2}\)
I dla stycznych zewnętrznie wychodzi mi \(\displaystyle{ m= \sqrt{2} \vee m= -\sqrt{2}}\) a dla stycznych wewnętrznie wychodzi sprzeczność \(\displaystyle{ m^{2} = -2}\)
Co robię nie tak ?
Bo mi wyszło: \(\displaystyle{ m= \sqrt{2} \vee m= -\sqrt{2}}\)
Pierwszy okrąg:
\(\displaystyle{ S1 = (0, 0)}\)
\(\displaystyle{ r1 = \sqrt{2}}\)
Doprowadziłem drugie równanie okręgu do postaci:
\(\displaystyle{ (x+2)^{2}+(y-m)^{2}=4}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ S2 = (-2, m)}\)
\(\displaystyle{ r2 = 2}\)
Okręgi mogą być stycznie wewnętrznie lub zewnętrznie, wiec trzeba sprawdzić dwa przypadki:
Zewnętrznie: \(\displaystyle{ \left|S1,S2 \right| = r1 + r2}\)
Wewnętrznie: \(\displaystyle{ \left|S1,S2 \right| = r1 -r2}\)
I dla stycznych zewnętrznie wychodzi mi \(\displaystyle{ m= \sqrt{2} \vee m= -\sqrt{2}}\) a dla stycznych wewnętrznie wychodzi sprzeczność \(\displaystyle{ m^{2} = -2}\)
Co robię nie tak ?