Wykazanie współrzędnych środka okręgu.

[julia13]

Dane jest równanie okręgu w postaci zredukowanej \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0}\), gdzie \(\displaystyle{ a^{2}+b ^{2}>4c}\). Wykaż, że środek tego okręgu ma współrzędne \(\displaystyle{ S(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2})}\), a długość promienia tego okręgu można obliczyć ze wzoru \(\displaystyle{ r^{2}=\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c}\).
Proszę o pomoc z tym zadaniem.

[lukasz1804]

Mamy

\(\displaystyle{ 0=x^{2}+y^{2}+ax+by+c=(x^2+ax)+(y^2+by)+c=[(x+\frac{a}{2})^2-\frac{a^2}{4}]+[(y+\frac{b}{2})^2-\frac{b^2}{4}]+c=(x+\frac{a}{2})^2+(y+\frac{b}{2})^2-(\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c).}\)

Zatem otrzymujemy równanie okręgu w postaci \(\displaystyle{ (x+\frac{a}{2})^2+(y+\frac{b}{2})^2=r^2}\), gdzie \(\displaystyle{ r^2=\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c}\). Środek okręgu jest wobec tego w punkcie \(\displaystyle{ (-\frac{a}{2},-\frac{b}{2})}\), a promień ma długość \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c}}\).