równanie płaszczyzny

[paweko1313]

Znalezc równanie płaszczyzny odcinajacej na osiach układu odcinki proporcjonalne
do liczb 1,2,3 i oddalonej od punktu M(3, 5, 7) o 4.

Byłbym bardzo wdzieczny nawet nie za samo rozwiązanie a chociaz za jakies konkretne wskazówki jak to policzyc z góry dzieki

[Crizz]

Skorzystaj z dwóch wzorów:

*Wzór płaszczyzny odcinającej na osiach \(\displaystyle{ x,y,z}\) odcinki o długościach odpowiednio \(\displaystyle{ a,b,c}\) można zapisać w postaci \(\displaystyle{ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1}\)

*Wzór na odległość punktu \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1},z_{1})}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\):
\(\displaystyle{ l=\frac{|Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}\)

[paweko1313]

jednak nie potrafie policzyc tego zadania .... wiec jesli ktos ma chęć mi pomoc to bede wdzieczny -- 6 sty 2010, o 02:24 --jednak wskazówki pomogły - dałem rade dzieki

[MargA]

...A ja bym poprosiła o rozwiązanie bo nie moge dojść do tego pomimo powyższych wskazówek.
Z góry dziekuje;)

[Crizz]

Skoro płaszczyzna odcina odcinki proporcjonalne odpowiednio do 1,2 i 3, to istnieje takie \(\displaystyle{ -d}\), że długości tych odcinków wynoszą \(\displaystyle{ -d,-2d,-3d}\), wobec tego równanie płaszczyzny można zapisać jako
\(\displaystyle{ \frac{x}{-d}+\frac{y}{-2d}+\frac{z}{-3d}=1}\)
po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ -d}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}+d=0}\)

Brakuje tylko d, ale d możemy wyznaczyć z drugiego z podanych wzorów, podstawiając do niego współrzędne punktu M:
\(\displaystyle{ \frac{|3+\frac{1}{2} \cdot5+\frac{1}{3} \cdot 7+d|}{\sqrt{1^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}}}=4}\)
\(\displaystyle{ \frac{|6d+47|}{7}=4}\)
\(\displaystyle{ d=-\frac{19}{6} \vee d=-\frac{25}{2}}\)
Sprawdź, czy nie ma błędu w obliczeniach.

[MargA]

dziękuje Ci ślicznie;)