Postać kanoniczna równania

[Kapol]

Sprowadzić równanie do postaci kanonicznej i wskazać zamianę zmiennych.

\(\displaystyle{ 5x^2+6xy+5y^2-16x-16y-16}\)

Kompletnie nie wiem jak to zrobić. Pomocy.

[mathX]

Szczerze, to nie widzę tutaj równania ze względu na brak znaku \(\displaystyle{ =}\).

Hint
Sprowadzanie funkcji kwadratowej do postaci kanoncznej:
\(\displaystyle{ ax^2 + bx + c & = ax^2 + bx + \tfrac{b^2}{4a} - \tfrac{b^2}{4a} + c = \\ & = a\left(x^2 + 2x\tfrac{b}{2a} + \tfrac{b^2}{4a^2}\right) - \tfrac{b^2}{4a} + \tfrac{4ac}{4a} = \\ & = a\left(x + \tfrac{b}{2a}\right)^2 - \tfrac{b^2 - 4ac}{4a}= \\ \\ a\left(x + \tfrac{b}{2a}\right)^2 - \tfrac{\Delta}{4a}}\)

Pozdrawiam.

[TheBizarre]

Na końcu jest
\(\displaystyle{ =0}\)

[mestali]

Po pierwsze to nie ma równania tylko jakiś zapis, na razie z kropeczkami na końcu.
Równanie należy sprowadzić do postaci:
\(\displaystyle{ (a_1x+b_1y+c_1)^2+(a_1x+b_1y+c_1)^2=\ldots}\)
jeśli rozwiniemy powyższe to możemy założyć, że:
\(\displaystyle{ a_1=1,a_2=b_2=2,b_1=-1,c_2=-4,c_1=0}\)
proponowane podstawienie zmiennych to:
\(\displaystyle{ w_1=a_1x+b_1y,w_2=a_2x+b_2y}\)
pod warunkiem, że \(\displaystyle{ {D(w_1,w_2)\over D(x,y)}\neq0}\)
A to co otrzymamy jest równe punktowi.
BTW:Jeśli równanie kończyłoby się na \(\displaystyle{ =r^2}\) to dostalibyśmy przesunięty i obrócony okrąg.
Pozdrawiam,
Grzesiek

[TheBizarre]

OK, jeszcze raz od początku z prawidłowym rozwiązaniem, do którego nie potrafię dojść .

\(\displaystyle{ 5x^2+6xy+5y^2-16x-16y-16=0}\)

Postać kanoniczna:

\(\displaystyle{ x"^2+4y"^2=16}\)

Zamiana zmiennych:

\(\displaystyle{ x"= \frac{ \sqrt{2} }{2}(-x-y)}\), \(\displaystyle{ y"= \frac{ \sqrt{2} }{2}(-x-y+2)}\)

Tak na marginesie, jestem tą sama osobą, która założyła wątek.