Równania prostej przechodzącej przez punkt przebicia

[maQu]

Napisać równania parametryczne i kierunkowe prostej:

Prosta przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ P=(1,-1,2)}\) oraz przez punkt przebicia (punkt wspólny) prostej \(\displaystyle{ l:\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-1}{1}}\) z płaszczyzną \(\displaystyle{ \pi : 3x+5y+z-2=0}\)

Z góry dziękuje za jakąkolwiek pomoc;)

[Kamil_B]

Na początek wyznacz ten punkt przebicia.
W tym celu przyjmij :

\(\displaystyle{ \frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-1}{1}=t}\)

skąd

\(\displaystyle{ x=4t+12 , \ \ y=3t+9 , \ \ z=t+1}\)

co po podstawieniu do równania płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) daje Ci wartość parametru \(\displaystyle{ t}\) i w konsekwencji punkt przebicia

\(\displaystyle{ A=(4t+12 , 3t+9 , t+1)}\)

Teraz wyznaczasz wektor kierunkowy \(\displaystyle{ \vec{AP}}\) i bierzesz np. punkt \(\displaystyle{ P}\) i piszesz równanie kierunkowe.
Co do równania parametrycznego:

Ukryta treść:    

Mamy równanie kierunkowe postaci:

\(\displaystyle{ \frac{x-x_{0}}{a} = \frac{y-y_{0}}{b} = \frac{z-z_{0}}{c}=t}\)

gdzie \(\displaystyle{ t}\) jest parametrem, \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0},z_{0})}\) punktem należącym do tej prostej natomiast \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) wektorem kierunkowym .

Teraz wystarczy wyznaczyć \(\displaystyle{ x,y,z}\) w zależności od parametru \(\displaystyle{ t}\) i mamy równanie parametryczne postaci:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=at+x_{0} \\ y=bt+y_{0} \\ z=ct+z_{0}\end{cases}}\)

Pozdrawiam