Znaleźć punkt na prostej

[BartekOsa]

Na prostej przechodzące przez punkty A(x1,y1) i B(x2,y2) Znaleźć punkt S spełniający
warunek AS = λSB, gdzie λ jest dowolną liczbą rzeczywistą.

[Crizz]

Skorzystaj z następującego twierdzenia:

Punkt \(\displaystyle{ M=\left( \frac{nx_{1}+mx_{2}}{m+n}, \frac{ny_{1}+my_{2}}{m+n}\right)}\) dzieli odcinek o końcach \(\displaystyle{ A=(x_{1},y_{1}),B=(x_{2},y_{2})}\) w stosunku \(\displaystyle{ m:n}\), licząc od wierzchołka \(\displaystyle{ A}\).

Dowód:

Niech \(\displaystyle{ M}\) dzieli odcinek \(\displaystyle{ AB}\) w stosunku \(\displaystyle{ m:n}\). Możemy zapisać ten fakt jako \(\displaystyle{ \frac{|\vec{AM}|}{|\vec{MB}|}=\frac{m}{n}}\), czyli \(\displaystyle{ n \cdot |\vec{AM}|=m \cdot |\vec{MB}|}\). Ponieważ dodatkowo \(\displaystyle{ \vec{AM}||\vec{MB}}\) i wektory te mają te same zwroty, to \(\displaystyle{ n \cdot \vec{AM}=m \cdot \vec{MB}}\). Niech \(\displaystyle{ M=(x,y)}\), wtedy zależność tę można przedstawić jako \(\displaystyle{ [n(x-x_{1}),n(y-y_{1})]=[m(x_{2}-x),m(y_{2}-y)]}\). Korzystając z faktu, że dwa wektory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy równe są ich odpowiednie współrzędne, otrzymujemy \(\displaystyle{ M=\left( \frac{nx_{1}+mx_{2}}{m+n}, \frac{ny_{1}+my_{2}}{m+n}\right)}\), co kończy dowód.

[BartekOsa]

Skorzystaj z następującego twierdzenia:

Punkt \(\displaystyle{ M=\left( \frac{nx_{1}+mx_{2}}{m+n}, \frac{ny_{1}+my_{2}}{m+n}\right)}\)

czym jest m i n w podanym wzorze?

[Crizz]

m oraz n wybierasz dowolnie, byle była spełniona równość \(\displaystyle{ \frac{m}{n}=\lambda}\). Może być \(\displaystyle{ m=\lambda,n=1}\).