Izometria- Zbiór punktów stałych

[daniel1302]

Witam, mam 2 takie zadanka:
Czy istnieje taka liczba rzeczywista k, by przekształcenie P określone było izometrią, Jeśli tak to podaj wszystkie takie liczby.
a)P((x;y)) = (kx;ky);
b)P((x;y)) = (kx ;y+k);

2. Jak wyznaczyć zbiór punktów stałych dla takiego wyrażenia np
P((x;y)) = (x-2;y);

[lukasz1804]

1. Należy wziąć dwa dowolne punkty \(\displaystyle{ (x,y),(x',y')}\) i sprawdzić, dla jakich wartości \(\displaystyle{ k}\) odcinek łączący punkty \(\displaystyle{ P(x,y), P(x',y')}\) ma długość równą odcinkowi łączącemu punkty \(\displaystyle{ (x,y), (x',y')}\).

2. Zbadaj, dla jakich puntów \(\displaystyle{ (x,y)}\) jest \(\displaystyle{ P(x,y)=(x,y)}\).

[daniel1302]

1) Czyli A(x;y), B(x';y') C(kx; ky)
\(\displaystyle{ \left|AB\right| = \sqrt{(x'-x)^{2} + (y'-y)^{2}} = \sqrt{(x'^{2} -2x'x- x^{2}) + (y'^{2} -2y'y- y^{2})}}\)
\(\displaystyle{ \left|AC\right| = \sqrt{(kx-x)^{2} + (ky-y)^{2}} = \sqrt{((kx)^{2} - 2kx^{2} + x^{2}) + ((ky)^{2} - 2ky^{2} + y^{2})}}\)

I tutaj się zaciołem przed wczoraj.
A co do 2 niemam pomysłu wcale

[lukasz1804]

2. Skoro \(\displaystyle{ P(x,y)=(x,y)}\), to \(\displaystyle{ (x-2,y)=(x,y)}\), skąd \(\displaystyle{ x-2=x}\) oraz \(\displaystyle{ y=y}\). Ponieważ pierwsze z otrzymanych równań jest sprzeczne, to przekształcenie \(\displaystyle{ P}\) nie ma punktów stałych.

1. a)
Musi być \(\displaystyle{ \sqrt{(kx'-kx)^2+(ky'-ky)^2}=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2}}\), skąd \(\displaystyle{ |k|=\sqrt{k^2}=1}\), czyli \(\displaystyle{ k=-1}\) lub \(\displaystyle{ k=1}\).