plaszczyzna zawierajaca prostą odlegla o 1 od (0,0,0)

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
qq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 15 cze 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: qqq

plaszczyzna zawierajaca prostą odlegla o 1 od (0,0,0)

Post autor: qq »

prosze o pomoc z zadaniem:

znalezc rownanie plaszczyzny PI zawierajacej prosta:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x-y+1=0\\x-z-1=0\end{array}}\)

i kotrej odleglosc od poczatku ukladu jest rowna 1.

__________
znalazlem rownanie parametrycznej tej prostej i jej wektor kierunkowy:

\(\displaystyle{ l:\left\{\begin{array}{l}x=t\\y=t+1\\z=t-1\end{array}}\)

punkt P1 to rzut ptostokatny (0,0,0) na prosta l

jego odleglosc od poczatku uladu to pierw(2):

\(\displaystyle{ \[\begin{array}{l}P_{1}(0,1,-1)\\P_{0}(0,0,0)\\|P_{0}P_{1}|=\sqrt{2}\end{array}\]}\)

dalej nie moge sobie poradzic, widac ze trzeba jakos chyba o 45 stopni obrocic plaszcyzcne ale wedlug jkaiej osi.... ktos moze przedstawic dalsze rozwiazanie?

z gory dzieki

Poprawiłem zapis w TeX-u. Mam nadzieję że o takie coś chodziło - DEXiu
Ostatnio zmieniony 18 cze 2006, o 14:15 przez qq, łącznie zmieniany 2 razy.
Fibik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 953
Rejestracja: 27 wrz 2005, o 22:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 74 razy

plaszczyzna zawierajaca prostą odlegla o 1 od (0,0,0)

Post autor: Fibik »

Nie wiem co tam kombinujesz z tym P1, chcesz obracać ten pierwiastek, czy jak?

Równanie normalne płaszczyzny: \(\displaystyle{ ax + by + cz + d = 0}\)
a, b, c - kosinusy kierunkowe wektora normalnego, czyli:
\(\displaystyle{ \Large a^2 + b^2 + c^2 = 1}\)

Wektor (a,b,c) jest prostopadły do prostej, czyli wektora (1,1,1), więc:
\(\displaystyle{ (a,b,c)(1,1,1) = 0\ \to\ \Large a + b + c = 0}\)

Wszystkie punkt z prostej leżą na płaszczyźnie, np. (0,1,-1) - wstawiamy go do równania płaszczyzny:
\(\displaystyle{ \Large b - c + d = 0}\)

Odległość punktu (0,0,0) od płaszcz. wynosi:
\(\displaystyle{ |a\cdot 0 + b\cdot 0 + c\cdot 0 + d| = 1\ \to\ \Large |d| = 1}\)

Wystarczy rozwiązać układ równań.
qq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 15 cze 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: qqq

plaszczyzna zawierajaca prostą odlegla o 1 od (0,0,0)

Post autor: qq »

ale czy to nie jest za malo zeby rozwiazac ten uklad? wyjdzie uklad 2 rownan z 3ma niewadomymi.

moglbys wyjasnic dlaczego a b c to kosinusy wektora normlanego? nie slyszalem o tekiej interpretacji tego
Fibik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 953
Rejestracja: 27 wrz 2005, o 22:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 74 razy

plaszczyzna zawierajaca prostą odlegla o 1 od (0,0,0)

Post autor: Fibik »

Równania są trzy:

\(\displaystyle{ \Large b-c + d = 0\\a+b+c = 0\\a^2+b^2+c^2 = 1}\)

a nawet 4: \(\displaystyle{ \Large |d| = 1}\)

Postać normalna płaszczyzny to nic nadzwyczajnego - mając postać ogólną:
\(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D = 0}\)
dzielimy to przez: \(\displaystyle{ \sqrt{A^2+B^2+C^2}}\) i otrzymujemy postać normalną.

Współrzędne wektora o długości 1 są zawsze równe jego kosinusom kierunkowym.
ODPOWIEDZ