Równanie okręgu

[pokerstar45]

Znów mam problem z zadaniem, teoretycznie prostym...

Okrąg przechodzący przez punkt \(\displaystyle{ A=(-1,1)}\) jest styczny do prostej o równaniu \(\displaystyle{ y=x-2}\) w punkcie \(\displaystyle{ P=(4,2)}\). Wyznacz równanie okręgu.

A więc jak to robię.

Prowadzę sobie prosta, która jest prostopadła do stycznej i przechodzi przez środek okręgu S i punkt P. Oczywiście wykorzystując równanie kierunkowe prostej i to że iloczyn współczynników kierunkowych ma się równać -1 otrzymuję równanie prostej \(\displaystyle{ y=-x+6}\). Więc środek okręgu będzie miał współrzędne \(\displaystyle{ S=(a, 6-a)}\)

Obliczam więc odległość pomiędzy S i punktami A i P. Przyrównuję je do siebie bo są równe promieniowi.

I mam dwa równania:

\(\displaystyle{ \sqrt{(a+1)^2+((6-a)-1)^2} = \sqrt{(a-4)^2+((6-a)-2)^2}}\)

Wychodzi mi

\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+2a+1+36-12a+a^2-12-2a+1} = \sqrt{a^2-8a+16+36-12a+a^2-12-2a+4 }}\)

I to jest na bank źle Widzi ktoś błąd w obliczeniach ?

[mat_61]

Źle jest obliczona prawa strona równania Powinno być tak:

\(\displaystyle{ \sqrt{(a-4)^2+((6-a)-2)^2}= \sqrt{a^2-8a+16+36-12a+a^2-24+4a+4 }}\)

Ale przecież łatwiej to obliczyć wykonując wcześniej działania w nawiasie, czyli:

\(\displaystyle{ \sqrt{(a-4)^2+((6-a)-2)^2}= \sqrt{(a-4)^2+(4-a){^2}}\)

[Ateos]

edit

[pokerstar45]

Nie wiem jak Wam ale mi wychodzi że a równe jest 1,5. A w zadaniu powinno wyjśc \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\). Bo ostateczna odpowiedź wygląda tak

\(\displaystyle{ (x- \frac{3}{4} )^2+(x- \frac{21}{4})^2= \frac{169}{8}}\)

Albo ktoś ostatecznie podważy rozwiązanie ze zbioru kiełbasy albo no własnie albo co

[mat_61]

Coś musiałeś źle poredukować wyrazy, bo z tego równania które napisałeś wychodzi przecież:

\(\displaystyle{ a= \frac{3}{4}}\)

Po prawej stronie równania masz pod pierwiastkiem:

\(\displaystyle{ 2a^{2}-16a+32}\)

Natomiast po lewej:

\(\displaystyle{ 2a^{2}-8a+26}\) - nie zauważyłem wcześniej, że także po lewej stronie masz błąd. Przedostatni składnik pod pierwiastkiem jest równy 2a a nie (-2a)

[pokerstar45]

\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+2a+1+36-12a+a^2-12-2a+1}= \sqrt{a^2-8a+16+36-12a+a^2-24+4a+4 }}\)

Opuszczam sobie pierwiastki

wychodzi mi 4a=6

Nie no ale skąd się wzieło -16a.

Przeciez jest -12a-2a+2a=-12a

[mat_61]

Po kolei:

Po prawej stronie masz pod pierwiastkiem wyrażenia z a: (-8a-12a+4a)=(-16a)

Po lewej stronie: patrz mój poprzedni post - miałeś błąd którego nie zauważyłem na samym początku.

[pokerstar45]

mat_61>>> dzięki za wyrozumiałość dla mojej głupoty i cierpliwość !

Zrobiłem to dzięki Twojemu postowi nr 1. Normalnie odjąłem i potem było duzo łatwiej i faktycznie wyszło \(\displaystyle{ a= \frac{3}{4}}\)

Ekhmm... pora chyba odpocząć !